一知能掌握
（一）轻弹簧弹力大小变化特点
1.弹簧的弹力属于接触力。弹簧两端必须都与其它物体接触才可能有弹力，如果弹簧的一端和其它物体脱离接触，或处于拉伸状态的弹簧突然被剪断，那么弹簧两端的弹力都将立即变为零。 2.弹簧的弹力大小只能渐变，不能突变。弹簧两端都保持与其它物体接触的条件下，弹簧弹力的大小F=kx 与形变量x 成正比。伸缩形变形变较大，且不能忽略不计。由于形变量的改变需要一定时间，因此这种情况下，弹力的大小不会突然改变，即弹簧弹力大小的改变需要一定的时间。
（二）与弹簧相连物体的瞬时加速度求解方法
此类问题的关键是：弹簧的弹力不会瞬间变。
1.由物体所处的运动状态求出弹簧的弹力；
2.去掉某一个力后（通常是剪断绳子）的瞬间，认为弹簧的弹力不变化，求出物体受到的合力；
3.由牛顿第二定律列方程求解。停车场收费管理系统
二探索提升
【典例1】如图所示，质量分别为m A 和m B 的A 、B 两球用轻弹簧连接，A 球用细线悬挂起来，两球均处于静止状态．如果将悬挂A 球的细线剪断，则剪断瞬间A 、B 两球的加速度各是多少？
思路点拨： 解答本题的基本思路为：
(1)悬挂A 球的细线剪断前A 球和B 球的受力情况；
(2)剪断细线瞬间有哪些力发生了变化；
(3)剪断细线后A 球和B 球的受力情况；
(4)根据牛顿第二定律列方程求解．
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【答案】 a A ＝(m B ＋m A )g m A
，方向竖直向下 a B ＝0 【解析】 由于轻弹簧两端连着小球，小球要发生一段位移，需要一定时间，故剪断细线瞬间，弹簧的弹力与剪断前相同．先分析剪断细线前A 球和B 球的受力情况，如图所示，A 球受到重力m A g 、弹簧的弹力F 1和细线的拉力F 2，B 球受到重力m B g 、弹簧的弹力F ′1，且F ′1＝F 1＝m B g 剪断细线瞬间，F 2消失，但弹簧尚未收缩，仍保持原来的形变，即F 1、F ′1不变，故B
刮腻子的机器球所受的力不变，所以此时a B ＝0，而A 球的加速度为a A ＝F 1＋m A g m A ＝(m B ＋m A )g m A
，方向竖直向下．
【典例2】质量分别为m 和2m 的小球P 、Q 用细线相连，P 用轻弹簧悬挂在天花板下，开始系统处于静止。下列说法中正确的是
A ．若突然剪断细线，则剪断瞬间P 、Q 的加速度大小均为g
B ．若突然剪断细线，则剪断瞬间P 、Q 的加速度大小分别为0和g
C ．若突然剪断弹簧，则剪断瞬间P 、Q 的加速度大小均为g
D ．若突然剪断弹簧，则剪断瞬间P 、Q 的加速度大小分别为3g 和0
【答案】 C
【解析】 剪断细线瞬间，细线拉力突然变为零，弹簧对P 的拉力仍为3mg 竖直向上，因此剪断瞬间P 的加速度为向上2g ，而Q 的加速度为向下g ；剪断弹簧瞬间，弹簧弹力突然变为零，细线对P 、Q 的拉力也立即变为零，因此P 、Q 的加速度均为竖直向下，大小均为g 。选C 。
【典例3】 (2019年吉林模拟)(多选)在动摩擦因数μ＝0.2的水平面上有一个质量为m ＝2 kg 的小球，小球与水平轻弹簧及与竖直方向成θ＝45°角的不可伸长的轻绳一端相连，如图3－2－5所示，此时小球处于静止平衡状态，且水平面对小球的弹力恰好为零．当剪断轻
绳的瞬间，取g ＝10 m/s 2，下列说法正确的是( )
图3－2－5
A ．此时轻弹簧的弹力大小为20 N
433m天线
B ．小球的加速度大小为8 m/s 2，方向向左
C ．若剪断弹簧，则剪断的瞬间小球的加速度大小为10 m/s 2，方向向右
D ．若剪断弹簧，则剪断的瞬间小球的加速度为零
【答案】 ABD
【解析】 未剪断轻绳时，水平面对小球的弹力为零，小球受到重力mg 、轻绳的拉力F T 和弹簧的弹力F 作用而处于平衡状态．依据平衡条件得竖直方向上有F T cos θ＝mg ，水平方向上有F T sin θ＝F ，解得弹簧弹力F ＝mg tan θ＝20 N ，A 正确；剪断轻绳后小球在竖直方向仍平衡，即水平面支持力F N ＝mg ，水平方向上弹簧的弹力保持不变，由牛顿第二定律得小球的加速度a
＝F －μF N m ＝20－0.2×202
m/s 2＝8 m/s 2，方向向左，B 正确；当剪断弹簧的瞬间，小球立即只受地面支持力和重力作用，且二力平衡，加速度为零，C 错误，D 正确．
【典例4】如图3－2－4甲所示，一质量为m 的物体系于长度分别为L 1、L 2的两根细线上，L 1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，L 2水平拉直，物体处于平衡状态．
图3－2－4
(1)现将线L 2剪断，求剪断L 2的瞬间物体的加速度；
(2)若将图甲中的细线L 1换成长度相同(接m 后)，质量不计的轻弹簧，如图3－2－4乙所示，其他条件不变，求剪断L 2的瞬间物体的加速度．
【答案】 (1)g sin θ，方向垂直于L 1斜向下方
P
Q
(2)g tan θ，方向水平向右
【解析】 (1)细线L 2被剪断的瞬间，因细线L 2对物体的弹力突然消失，而引起L 1上的张力发生突变，使物体的受力情况改变，瞬时加速度垂直L 1斜向下方，大小为a ＝g sin θ.
(2)当细线L 2被剪断时，细线L 2对物体的弹力突然消失，而弹簧的形变还来不及变化(变化要有一个过程，不能突变)，因而弹簧的弹力不变，它与重力的合力与细线L 2对物体的弹力是一对平衡力，等大反向，所以细线L 2被剪断的瞬间，物体加速度的大小为a ＝g tan θ，方向水平向右．
【典例5】如图所示，物块1、2间用刚性轻质杆连接，物块3、4间用轻质弹簧相连，物块1、3质量为m ,2、4质量为M ，两个系统均置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态．现将两木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，物块1、2、3、4的加速度大小分别为a 1、a 2、a 3、a 4.重力加速度大小为g ，则有( C )
A ．a 1＝a 2＝a 3＝a 4＝0
B ．a 1＝a 2＝a 3＝a 4＝g
C ．a 1＝a 2＝g ，a 3＝0，a 4＝m ＋M M g
D ．a 1＝g ，a 2＝m ＋M M g ，a 3＝0，a 4＝m ＋M M
g 【答案】 C
【解析】在抽出木板的瞬时，物块1、2与刚性轻杆接触处的形变立即消失，受到的合力均等于各自重
力，所以由牛顿第二定律知a 1＝a 2＝g ；而物块3、4间的轻弹簧的形变还来不及改变，此时弹簧对3向上的弹力大小和对物块4向下的弹力大小仍为mg ，因此物块3满足mg ＝F ，a 3＝0；由牛顿第二定律得物块4满足a 4＝F ＋Mg M ＝M ＋m M
g ，所以C 对． 【典例6】如图所示，吊篮A 、物体B 、物体C 的质量相等，弹簧质量不计，B 和C 分别固定在弹簧两端，放在吊篮的水平底板上静止不动．将悬挂吊篮的轻绳剪断的瞬间 ( C )
A ．吊篮A 的加速度大小为g
B ．物体B 的加速度大小为g
C ．物体c 的加速度为3/2g
D ．A 、B 、C 的加速度大小都等于g
三 高考真题
1.（2001年上海）如图（A ）所示，一质量为m 的物体系于长度分别为l 1、l 2的两根细线上，l 1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，l 2水平
拉直，物体处于平衡状态.现将l 2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度.
一个度导航
（1）下面是某同学对该题的一种解法： 解：设l 1线上拉力为T 1，l 2线上拉力为T 2，重力为mg ，物体在三力作用下保持平衡： T 1cos θ=mg , T 1sin θ=T 2, T 2=mg tan θ
剪断线的瞬间，T 2突然消失，物体即在T 2反方向获得加速度.因为mg tan θ=ma ，所以加速度a =g tan θ，方向在T 2反方向 ，你认为这个结果正确吗?请对该解法作出评价并说明理由.
（2）若将图A 中的细线l 1改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图（B ）所示，其他条件不变，求解的步骤与（1）完全相同，即a =g tan θ，你认为这个
结果正确吗?请说明理由.
θ l 1 l 2 图A θ
l 1 l 2
图B
答：（1）结果不正确.因为l 2被剪断的瞬间，l 1上张力的大小发生了突变，此瞬间 T 1=mg cos θ, a = g sin θ
钢丝绳滑轮答：（2）结果正确，因为l 2被剪断的瞬间、弹簧l 1的长度不能
发生突变、T 1的大小和方向都不变.
总结升华：不可伸长的绳子或者轻杆上的力是可以突变的，当弹簧或橡皮条的两端都有其他物体或力的约束且使其发生形变时，弹簧或者橡皮条上的力是不能突变的。
四 实践拓展
1．(多选)质量均为m 的A 、B 两个小球之间系一个质量不计的弹簧，放在光滑的台面上．A 紧靠墙壁，如图3－2－12所示，今用恒力F 将B 球向左挤压弹簧，达到平衡时，突然将力F 撤去，此瞬间( BD )．
图3－2－12
A ．A 球的加速度为F
2m B ．A 球的加速度为零 C ．B 球的加速度为F 2m D ．B 球的加速度为F m
【答案】 D
【解析】 恒力F 作用时，A 和B 都平衡，它们的合力都为零，且弹簧弹力为F .突然将力F 撤去，对A 来说水平方向依然受弹簧弹力和墙壁的弹力，二力平衡，所以A 球的合力为零，加速度为零，A 项错，B 项对．而B 球在水平方向只受水平向右的弹簧的弹力作用，加速度a ＝F m
，故C 项错，D 项对．
2．(2019年山东淄博一模)(多选)如图12－7所示，轻弹簧两端拴接两个质量均为m 的小球a 、b ，拴接小球的细线固定在天花板上，两球静止，两细线与水平方向的夹角均为α＝30°，弹簧水平，以下说法正确的是( )
图12－7
A ．细线拉力大小为mg
B ．弹簧的弹力大小为 3 mg
C ．剪断左侧细线瞬间，b 球加速度大小为g
D ．剪断左侧细线瞬间，a 球加速度大小为2 g
【答案】 BD
【解析】以两小球和弹簧组成的系统为研究对象受力分析，受到重力2mg 和两根绳的拉力各为F ，根据平衡条件得2F sin α＝2mg ，F ＝2mg ，A 错误；隔离a 小球分析，得弹簧弹力大小F x ＝F 2－（mg ）2＝3mg ，B 正确；由于两端约束的弹簧上的弹力不能瞬间变化，故剪断左侧细线瞬间，b 球受力不变，合力为零，其加速度为零，C 错误；a 球受重力和弹簧的
弹力，加速度大小a ＝（mg ）2＋F 2
x m ＝2g ，D 正确．
3．(多选)用细绳拴一个质量为m 的小球，小球将一固定在墙上的水平轻质弹簧压缩了x (小球与弹簧不拴连)，如图3－2－13所示．将细绳剪断后( )． 图3－2－13
A ．小球立即获得kx m 的加速度
B ．小球在细绳剪断瞬间起开始做平抛运动
C ．小球落地的时间等于 2h g
D ．小球落地的速度大于2gh 【答案】 CD
【解析】解析细绳剪断瞬间，小球受竖直方向的重力和水平方向的弹力作用，选项A 、B 均错；水平方向的弹力不影响竖直方向的自由落体运动，故落地时间由高度决定，选项C 正确；重力和弹力均做正功，选项D 正确．
4.在光滑水平面上有一质量为1kg 的物体，它的左端与一劲度系数为800N/m 的轻弹簧相连，右端连接一细线．物体静止时细线与竖直方向成37°角，此时物体与水平面刚好接触但无作用力，弹簧处于水平状态，如图3所示，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g 取10 m/s 2
，则下列判断正确的是( A ) 图3
A ．在剪断细线的瞬间，物体的加速度大小为7.5m/s 2
B ．在剪断弹簧的瞬间，物体所受合外力为15N
C ．在剪断细线的瞬间，物体所受合外力为零
D ．在剪断弹簧的瞬间，物体的加速度大小为7.5m/s 2 【答案】 A
【解析】对物体受力分析，由平衡条件可知，在剪断细线或弹簧前，绳上弹力大小为F T1＝
mg cos37°
＝12.5N ，弹簧的弹力大小为F T2＝mg tan37°＝7.5N ；在剪断细线的瞬间，细线上弹力突变为零，弹簧弹力不变，物体还受到地面竖直向上的支持力，该支持力与物体的重力平衡，所以物体所受的合力为7.5N ，加速度大小为7.5m/s 2，选项A 对，C 错；在剪断弹簧的瞬间，弹簧的弹力突变为零，绳子的弹力也消失，地面对物体竖直向上的支持力与物体重力平衡，物体的合外力为零，加速度也为零，选项B 、D 均错误．
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