将军饮马问题
问题概述
路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题 方法原理
1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 1.
要求：在直线l上一点P，使PA+PB的值最小
解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,
PA+PB的最小值即为线段AB的长度
理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´嵌入式终端，
在△ABP’中，AP´+BP´数字高清网络摄像机>AB，即AP´+BP´>AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.
2.
已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧
要求：在直线l上一点P，使得PA+PB值最小
（或△ABP的周长最小）
解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，
点P即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，
由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则
需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.
3.
已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两
点到l的距离不相等）
要求：在直线l上一点P，使︱PA-PB︱的值最大
解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；
理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P´，
连接AP´、BP´，由三角形的三边关系知︱P´A-P´B︱<AB，
农用保水剂即︱P´A-P´B︱<︱PA-PB︱
4. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两
点到l的距离不相等）
要求：在直线l上一点P，使︱PA-PB︱的值最大
解：作点B关于直线l的对称点B´，连接B´A并延长交
于点P，点P即为所求；
理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂
线的性质得：PB=PBn0705´，要使︱PA-PB︱最大，则需
︱PA-PB´︱值最大 ，从而转化为模型3.
驳接头典型例题1-1
如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________. 【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为△BAO的中位线，OP为 △CDD'的中位线，易求OP长，从
而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.
【解答】连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小．令y=x+4中x=0，则y=4，
∴点B坐标（0，4）；令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴CD为△BAO的中位线， ∴CD∥x轴，且CD=AO=3，
∵点D′和点D关于x轴对称，∴O为DD′的中点，
D′（0，-1），∴OP为△CDD′的中位线，∴OP=CD=，
∴点P的坐标为（﹣，0）．在Rt△CDD′中，
CD′===5，即PC+PD的最小值为5.
【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C、点P坐标；若题型变
化，C、D不是AB和OB中点时，则先求直线CD′的解析
式，再求其与x轴的交点P的坐标.
典型例题1-2
如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，1），点B
的坐标为（，﹣2），点P在直线y=﹣x上运动，当|PA﹣PB|最
大时点P的坐标为_________，|PA﹣PB|的最大值是_________.
【分析】符合基本模型4的特征，作A关于直线y=﹣x对称点C，
连接BC，可得直线BC的方程；求得BC与直线y=﹣x的
交点P的坐标；此时|PA﹣PB|=|PC﹣PB|=BC取得最大值，
再用两点之间的距离公式求此最大值.
【解答】作A关于直线y=﹣x对称点C，易得C的坐标为（﹣1，0）；连接BC，可得直线BC的方程为y=﹣x﹣，与直线y=﹣x联立解得交点坐标P为（4，﹣4）；此时|PA﹣PB|=|PC﹣PB|=BC取得最大值，最大值BC==；
【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点.
变式训练1-1
冷风门
已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），
OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短
时，点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（1，） C．（，） D．（，）
变式训练1-2
如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=2，
BD=2,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，则PE+PB的
最小值为__________.
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议