（完整版）初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析（最全）
初中几何中线段和（差）的最值问题
一、两条线段和的最小值。 基本图形解析：（
解剖小白鼠一）、已知两个定点：
1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：
（2）点A 、B 在直线同侧：
A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧：bttt
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
（3）两个点都在内侧：
m
m A
打塞机B
m B m
云计算导航A B
m
n m n
n m n
n
n
m B
（4）、台球两次碰壁模型
变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.
填空：最短周长=________________
变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.
二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动： 点B 在直线n 上运动，在直线m 上一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）
1、两点在直线两侧：
2、两点在直线同侧：
m n
m
n
m
n
m
（二）动点在圆上运动
点B 在⊙O 上运动，在直线m 上一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：
2、点与圆在直线同侧：
三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：
过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。 （2）点A 、B 在直线m 同侧：
m
m
m
m
Q Q
练习题
1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR
周长的最小值为
．
2、 如图1，在锐角三角形ABC 中，AB=4
,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，
M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ． 3、如图，在锐角三角形ABC 中 ，AB=52，∠BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是多少？
4、如图4所示，等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC 边上一点.若AE=2,EM+CM 的最小值为 .
5、如图3，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________．
防护套
6、 如图4，等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P 是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB 的最小值为 ．
Q
聚酯丙烯酸酯7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中
点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值
为．
8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是
9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm． 10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为
11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是
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