第35卷第6期2022年12月
振动工程学报
Journal of Vibration Engineering
Vol.35No.6
Dec.2022
几何非线性黏性阻尼隔振系统动力学特性研究刘海超，金映丽，闫明，孙自强，惠安民，王开平 （沈阳工业大学机械工程学院，辽宁沈阳110870）
摘要：针对舰船设备用隔振系统中普遍存在的非线性特性，建立了包含非线性刚度、库伦阻尼和几何非线性黏性阻尼的非线性隔振系统数学模型，采用平均法进行解析求解，根据Routh⁃Hurwitz判据得到系统稳定性边界条件，综合研究了线性阻尼、库伦阻尼和和几何非线性黏性阻尼对系统幅频响应和稳定性的影响规律；对非线性隔振系统进行了避跳参数设计，分析了系统参数对避跳边界的影响；通过振动试验进行验证。结果表明：线性阻尼、库伦阻尼和几何非线性黏性阻尼对降低软、硬隔振系统幅频响应峰值，提高系统稳定性都有积极作用，但由于库伦阻尼的“锁定”特性导致硬特性隔振系统幅频响应出现“频 率岛”现象，系统稳定性未能得到有效改善，但库伦阻尼有效降低了软特性隔振系统幅频响应峰值，提高了系统稳定性；几何非线性黏性阻尼对降低幅频响应峰值，提高系统稳定性均具有显著作用，同时不会出现“频率岛”现象。
关键词：非线性隔振；幅频响应；几何非线性黏性阻尼；避跳参数设计；振动试验
中图分类号:O328；TH703.63文献标志码:A文章编号:1004-4523（2022）06-1433-09
DOI：10.16385/jki.issn.1004-4523.2022.06.015
引言
随着中国舰船制造技术的快速发展，舰载设备日益精密化、智能化，但其所处的工作环境却日益复杂和严酷，这对舰载设备隔振装置的设计提出了更高的标准与要求［1⁃2］。由于舰船上多为大型重载设备，所以隔振器应具有更高的承载能力和更低的隔振频率，显然线性隔振器已经不能满足工程实际需求，因此，近年来国内外学者对非线性隔振系统展开了广泛而深入的研究。
陆泽琦等［3］对近年国内外多种非线性隔振系统的理论与应用进行了综述，非线性刚度能够有效解决线性隔振系统承载能力不足的问题。Brennan 等［4］采用谐波平衡法求解了具有软化和硬化的Duffing隔振系统响应方程，研究了跳降频率和跳升频率与系统参数的关系。张小龙等［5］进一步推
导了Duffing型隔振系统跳跃频率和力传递率的计算公式，分析了隔振系统主要参数对力传递率影响规律。文献［6⁃10］采用了理论、仿真和试验的方法对准零刚度隔振器的非线性动力学行为进行了研究，结果表明，准零刚度隔振器的高静低动特性使隔振系统具有更高的承载能力、更优的隔振带宽，但只适用于小幅值振动。Li等［11⁃12］设计了一种双腔固液混合（SALiM）隔振器，通过理论计算与振动试验对系统非线性刚度和阻尼特性进行了研究，这种隔振器更适合低频重型设备的隔振。Gao等［13］为低频重型设备设计了一种具有高静态和低动态（HSLD）刚度的新型油气近零频率（NZF）隔振器，该隔振器通过调节气压改变承载能力，采用流体阻尼机构实现了阻尼非线性。
相比线性隔振器，准零刚度隔振器虽然可以实现较高的承载能力和较低的隔振频率，但由于刚度的非线性常常会导致系统出现跳跃、分岔和混沌等不稳定现象。目前常采用提高系统阻尼来改善隔振系统的动力学性能。Kovacic等［14］对具有非线性阻尼的三类Duffing隔振系统（渐软、渐硬和双稳）的动力学特性进行研究，得出了幂函数非线性阻尼对分岔结构和通向混沌途径的依赖与系统的非线性刚度特征；并且对于渐软系统，随着激励幅值增加，下跳频率对阻尼的非线性阶次较为敏感，因此可以通过增加阻尼阶次提高系统的稳定性。Sharma等［15］分析了非线性阻尼对强迫Duffing系统的分岔与混沌特性的影响，结果表明，非线性阻尼能够降低系统首次进入混沌状态的临界值，增加发生混沌的参数空间，影响系统进入混沌的通道。Ho等［16］首次采用输出频响函数法分析了非线性刚度和非线性阻尼对Duffing系统动态行为的影响，结果表明，非线性阻
收稿日期:2021-05-13；修订日期:2021-07-08
基金项目：国防科技创新特区项目（20-163-00-TS-006-002-01）；国家自然科学基金资助项目（51705337）。
振动工程学报第35卷
尼对抑制隔振系统共振峰值，提高系统稳定性的效
果要远优于线性阻尼。Peng 等［17］采用谐波平衡法研究了立方阻尼对非线性隔振系统动力学特性的影响，结果表明立方阻尼隔振器在一些特殊情况下才具有优势。Laalej 等［18］利用主动试验装置对立方阻尼隔振系统进行了试验研究，结果充分说明了通过在单自由度隔振系统中使用三次非线性阻尼可以获得较好隔振效果。苏何先等
［19］
通过对非线性黏滞阻
尼器进行性能试验测试进一步明确了非线性阻尼器的关键参数，有助于设计出更符合工程实际需求的非线性阻尼器。
考虑舰载设备复杂的工作环境，被动隔振方式依然是首要选择，为了提高非线性隔振系统的振动性能，本文采用线性黏性阻尼器与隔振系统运动方向垂直的布置形式实现了系统阻尼的几何非线性；采用平均法求解了非线性隔振系统的主共振响应，分析了线性阻尼、库伦阻尼和几何非线性黏性阻尼对系统幅频响应、稳定性的影响规律，并且实现了隔振系统参数的避跳设计；最后通过振动试验进一步验证了几何非线性黏性隔振系统的特性规律。
1
建立隔振系统模型
1.1
系统力学模型
几何非线性隔振系统力学模型如图1所示。M
为设备的质量，K 1和K 2分别为隔振器垂向线性刚度和非线性刚度系数，C 1为垂向线性黏性阻尼系数，F f 为垂向库伦阻尼力，C 2为水平线性黏性阻尼系数，D 为水平阻尼器初始长度，Y （t ）和X （t ）分别代表基座和设备的绝对位移。
1.2系统数学模型
几何非线性隔振系统随基础激励做受迫振动，
假设基础激励为谐波信号，即Y （t ）=P sin （ωt ），定义设备与基座的相对位移Z （t ）=X （t ）-Y （t ）。
系统中的弹性力和阻尼力分别表示为：
F k =K 1Z +K 2Z 3
（1）
F c =C 1Z +F f sgn (Z )+2C 2
Z 2Z Z 2+D 2
（2）
当Z ≤0.2D 时，利用泰勒级数展开将式（2）简化为：
F c =C 1Z +F f sgn (Z )+4C 2
Z 2Z D 2
（3）
由此，系统的动力学方程为：
MZ +K 1Z +K 2Z 3+C 1Z +F f sgn (Z )+4C 2
Z 2Z D
2
=MPω2sin (ωt )（4）
定义无量纲参数如下：ω21=
K 1M ，ω22=K 2M ，r =ωω1，2ξ1ω1=C 1
M
，ρ=K 2Y 2K 1，η=4C 2Y 2
D 2Mω1
，λ=
F f Mω1（5）z =
Z P ，z =d z
d τ
，τ=ω1t （6）
变换得到相对坐标系下动力学方程（4）的无量纲形式为：
z +z +ρz 3+2ξ1z +λsgn (z )+
ηz 2z =r 2sin (rτ)
（7）
2幅频响应特性分析
假设系统稳态响应的一次近似解为：
ìí
îz =u (τ)sin (α(τ))z =u (τ)r cos (α(τ))
（8）
式中
u (τ)为无量纲振动幅值，α(τ)=rτ+θ(τ)，
θ(τ)为无量纲相位角，由此推出：
z =u r cos α-uθr sin α-ur 2sin α
（9）
同时，利用傅里叶展开对sgn 函数进行化简，有：
sgn (cos α)≈a 0+a 1cos α+
a 2sin α≈
4
π
cos α（10）
将式（8）~（10）代入式（7）求出关于u 和θ的方程式为：
u r =[(ur 2-u )sin α-ρu 3sin 3α-(2ξ1ur +ηu 3r sin 2α+4λ
π
)cos α+r 2sin (α-θ)]cos α
（11）
uθr =[(-ur 2+u )sin α+ρu 3sin 3α+
(2ξ1ur +ηu 3r sin 2α+4λ
π
)cos α-r 2sin (α-θ)]sin α
（12
）
图1
几何非线性隔振系统力学模型
Fig.1
Mechanical model of geometrically nonlinear vibration isolation system
1434
第6期刘海超，等：几何非线性黏性阻尼隔振系统动力学特性研究
其中，根据三角函数化简关系有：
sin (α-θ)=sin αcos θ-cos αsin θ
（13）sin 3α≈
3
4
sin α（14）
将式（13）和（14）代入式（11）和（12）整理得到：u r =[(ur 2-u -3
4
ρu 3-r 2cos θ)sin α-(2ξ1ur +ηu 3r sin 2α+4λ
石棉密封垫
π-r 2sin θ)cos α]cos α
（15）
uθr =[(-ur 2+u -r 2cos θ)sin α+
ρu 3sin 3α+(2ξ1ur +ηu 3r sin 2α+
4λ
π
+r 2sin θ)cos α]sin α（16）由于u 和θ为随时间缓慢变化的周期量，因此采
用平均法求得一个周期内的平均值为：
2πu r =-0.5π(4ξ1ur +0.5ηu 3r +
2r 2sin θ+4λ)
（17）
2πuθr =πé
ë
êêù
û
úú
(r 2-1)u +
34ρu 3-r 2cos θ（18）系统稳态解满足u =0，θ=0时，则有：
r 2sin θ=-2ξ1ur -0.25ηu 3r -2λ（19）r 2cos θ=(r 2-1)u +
3
4
ρu 3（20）
将式（19）和（20）两边平方求和，整理得到系统幅频响应和相频响应方程：
r 4=(2ξ1ur +0.25ηu 3r +2λ)2+
éëê
êùû
ú
ú(r 2-1)u +34ρu 32
（21）θ=arctan
水翼
()
-2ξ1ur -0.25ηu 3r -2λ
(r 2-1)u +3
4
ρu 3
（22）
由式（21）得到系统的骨干曲线方程：
(r 2-1)u +
3
4
ρu 3=0（23）
如图2所示，分别绘制了线性隔振系统与Duff⁃ing 隔振系统的无量纲幅频特性曲线，其中，骨干线由式（23）绘制。图3~5分析了线性阻尼ξ1、库伦阻尼λ和几何非线性黏性阻尼η对软、硬特性隔振系统的幅频响应特性的影响规律。
由图2可知，与线性隔振系统相比，硬特性Duffing 隔振系统幅频特性曲线向右弯曲，并且响应峰值大幅提高，系统出现明显的跳跃现象；软特性Duffing 隔振系统幅频特性曲线向左弯曲，响应峰值大幅降低，同样出现非线性跳跃现象。同时，骨干曲线能够较好地表示非线性隔振系统幅频响应曲线的变化趋势。
由图3可知，随着线性阻尼ξ1增加，软、硬隔振系统的幅频响应峰值都会大幅降低，跳跃区间迅速减小，直到跳跃现象完全消失。
由图4可知，由于库伦阻尼力的“锁定”特性（即由于库伦阻尼具有黏滞作用，当振动频率较低时，系统具有保持初始静止状态的特性），幅频响应的曲线起始频率（逃离频率）大于零，并随着λ的增大向右移动。对硬特性非线性隔振系统，当库伦阻尼λ≤0.5时，库伦阻尼对幅频响应的影响较小，
当库伦阻
图3
参数ξ1对幅频特性曲线的影响
Fig.3
The influence of parameter ξ1on the amplitude -frequency characteristic
curve
图4
屋顶融雪装置参数λ对幅频特性曲线的影响
Fig.4
The influence of parameter λon the amplitude -frequency characteristic
curve
图2线性与Duffing 隔振系统幅频响应对比Fig.2
Comparison of amplitude -frequency responses between linear and Duffing isolation systems
1435
振动工程学报第35卷
尼λ>0.5时，幅频特性响应曲线逃离频率r >1.0，此时幅频特性响应曲线出现独立封闭环形区域，即“频率岛”现象
［20］
，并且“频率岛”内部区域均为不稳
定的跳变区，随着库伦阻尼的增大，“频率岛”缓慢减小直到消失，此时系统才恢复稳定状态；对于软特性非线性隔振系统，随着库伦阻尼的增大，幅频响应峰值迅速衰减，跳跃现象消失，因此，增加库伦阻尼有利于提高软特性非线性隔振系统的稳定性。
由图5可知，微量增加几何非线性黏性阻尼η，软、硬特性隔振系统的幅频响应峰值大幅下降，跳跃现象迅速消失，同时不会因为η的增加导致幅频响应曲线出现“频率岛”现象。因此，几何非线性黏性阻尼对降低软、硬特性隔振系统的幅频响应，提高系统稳定性起到了十分重要的作用。
3定常解稳定性分析
为了研究非线性隔振系统定常解的稳定性，将
表达式u=u 0+v （τ）和θ=θ0+φ（τ）代入式（17）和（18），考虑式（19）和（20）的定常解并进行线性化处理得到扰动方程：
ìíî
ï8rv =-8ξ1rv -3ηru 20v -4r 2
(cos θ0)φ
8ru 0φ=4(1-r 2)v +9ρu 20v +4r 2
(sin θ0)φ（24）其中：
奶报箱
ìíîïsin (θ0+φ)≈sin θ0+(cos θ0)φ
cos (θ0+φ)≈cos θ0-(sin θ0)φ
（25）
u 0和θ0为式（19）和（20）的定常解，v （τ）和φ（τ）是两
个较小的扰动。
设方程（24）的解为v =v 0e st 和φ=φ0e st ，得到特征方程为：
||
|
|||||8πrs +8ξ1r +3ηru 2
4r 2cos θ0
4r 2-4-9ρu 20
8ru 0s -4r 2sin θ0=0（26）
展开行列式得：
64r 2u 0s 2+8(8ξ1r 2u 0+3ηr 2u 30-4r 3
sin θ0)s -
4r 2sin θ0(8ξ1r +3ηru 20)+4r 2cos θ0(4-4r 2+9ρu 20)=0
（27）
根据Routh⁃Hurwitz 定理，定常解稳定的边界条件为：
4r 2cos θ0(4-4r 2+9ρu 20)-4r 2sin θ0(8ξ1r +3ηru 20)=0
（28）
图6为不同激励幅值对系统幅频响应及稳定性
边界的影响，其中，定义实际施加的位移激励幅值p =nP ，n 为倍数参数，图中阴影部分为不稳定区
域。图7~9分别研究了线性阻尼ξ1、库伦阻尼λ和几何非线性黏性阻尼η对软、硬特性隔振系统稳定性的影响。
由图6可知，硬特性非线性隔振系统随激励幅值增加，幅频响应曲线逐渐向右弯曲，共振频率右移，系统隔振频宽减小；软特性非线性隔振系统随激励幅值增加，幅频响应曲线逐渐向左弯曲，共振频率左移，提高了系统隔振范围。但是，无论软、硬隔振系统，不稳定区域的边界由系统参数唯一确定，与激励幅值无关。但随着激励幅值增大，幅频响应曲线落入不稳定区域的部分增加，
导致系统不稳定性增加。
图7
参数ξ1对不稳定区域的影响
Fig.7
The influence of parameter ξ1on unstable
region
图6
不同激励幅值下的幅频响应及稳定边界
Fig.6
Stability boundary and amplitude frequency responses with different excitation
forces
图5
参数η对幅频特性曲线的影响
Fig.5
The influence of parameter ηon the amplitude -frequency characteristic curve
1436
第6期刘海超，等：几何非线性黏性阻尼隔振系统动力学特性研究
由图7可知，随线性阻尼ξ1的增加，软、硬特性非线性隔振系统的不稳定区域均逐渐减小，系统稳定性增加。
由图8可知，增加库伦阻尼λ同样可以减小软、硬特性非线性隔振系统的不稳定区域，提高系统稳定性，
珍珠岩膨胀炉
但是作用效果远远弱于线性阻尼。结合图4，增加库伦阻尼λ能够有效降低软特性非线性隔振系统的幅频响应，而且不会导致“频率岛”现象的出现。因此，在软特性非线性隔振系统中增加库伦阻尼有利于提高系统的稳定性。
由图9可知，随几何非线性黏性阻尼η的增加，硬特性非线性隔振系统不稳定区域快速减小，系统稳定性大幅提高，但是软特性非线性隔振系统不稳定区域变化不大，因此，几何非线性黏性阻尼η更适合应用于硬特性非线性隔振系统减小其跳跃区间，提高系统稳定性能。
4避跳参数设计
通过上述分析，在一定参数范围内会出现对系
统造成意外损坏的跳跃现象，故在设计隔振系统参数时应该首先避免跳跃现象的产生。事实上，如果能够保证系统的频率响应是唯一的就可以避免出现
跳跃现象［21］，因此，存在一个参数边界将单个和多个幅值区分开，即将跳跃区与非跳跃区分开。结合式（28）和（21）便可得到关于系统参数ρ，ξ1，λ和η的跳跃区和避跳区的边界。
为了避免跳跃现象的产生，对某线性阻尼ξ1=0.05的软、硬隔振系统的ρ，λ和η参数进行设计，由满足式（28）和（21）的参数构成如图10和11所示的曲面图，其中曲面及以上的区域为避跳区域，曲面上的星号（*）点为满足避跳边界条件的曲面内插点。
图12和13分别为硬、软特性隔振系统跳跃避免参数
的二维图。
图8
参数λ对不稳定区域的影响
Fig.8The influence of parameter λon unstable
region
图9
参数η对不稳定区域的影响
Fig.9
The influence of parameter ηon unstable
region
图10硬特性隔振系统跳跃避免边界曲面图
Fig.10
Jump avoidance boundary surfaces of the hard characteristic vibration isolation
system
图11软特性隔振系统跳跃避免边界曲面图
Fig.11
Jump avoidance boundary surfaces of the soft characteristic vibration isolation粽子机
system
图12硬特性隔振系统跳跃避免参数二维图
Fig.12
Two -dimensional diagram of jumping avoidance parameters of hard characteristic vibration isolation system
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