1.
3.
122PF PF a -=22
221x y a b
-=1
1
1PF e d =>4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.
8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点.
9．双曲线（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为,，与y 轴平行的直线
22
221x y a b
-=1(,0)A a -2(,0)A a 交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是.
22
221x y a b
+=10．若在双曲线（a ＞0,b ＞0）上，则过的双曲线的切线方程是
000(,)P x y 22
221x y a b
-
=0P . 00221x x y y
a b
-=11．若在双曲线（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切
000(,)P x y 22
221x y a b
-=点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是.
00221x x y y
a b
-=12．AB 是双曲线（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的
22
221x y a b -=中点，则.
2
2OM AB b k k a
⋅=13．若在双曲线（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
000(,)P x y 22
221x y a b
-=. 22
00002222x x y y x y a b a b
-=-14．若在双曲线（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
000(,)P x y 22
221x y a b
-=. 22002222x x y y x y a b a b
-
=-15．若PQ 是双曲线（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则
22
221x y a b金属圆锯片
-=. 122222
吸塑片材
121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==16．若双曲线（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为22
221x y a b
-=1
Ax By
+=，则(1) ;(2) . (0)AB ≠22
2211A B a b -=+L =
17．给定双曲线：（a ＞b ＞0）, ：,1C 2
2
2
2
22
b x a y a b -=2C 222
2
2
2
2
22
()a b b x a y ab a b
+-=-则(i)对上任意给定的点，它的任一直角弦必须经过上一定点M
1C 00(,)P x y 2C . 2222
002222(,)a b a b x y a b a b
++---(ii)对上任一点在上存在唯一的点，使得的任一直角弦都经过点. 2C '''
00(,)P x y 1C 'M 'M 'P 18．设为双曲线（a ＞0,b ＞0）上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦，且弦
00(,)P x y 22
221x y a b
-=PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点的充要条件是00(,)M mx my -(1)m ≠.
2
12211m b k k m a
+⋅=⋅-19．过双曲线（a ＞0,b ＞o ）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交
22
221x y a b
-=00(,)A x y 双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且（常数）.
20
20BC b x k a y =-20．双曲线（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点
22
221x y a b
-=，则双曲线的焦点角形的面积为，
12F PF γ∠=122cot
2
F PF S b γ
∆=
. 2(cot 2
b P
c γ±21．若P 为双曲线（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦
22
221x y a b
-=点, , ，则
（或）. 12PF F α∠=21PF F β∠=tan t 22c a co c a αβ-=+tan t 22
c a co c a βα
-=+22．双曲线（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式： ,
22
221x y a b
-=1(,0)F c -2(,0)F c 当在右支上时，,.
00(,)M x y 10||MF ex a =+20||MF ex a =-当在左支上时，,.
00(,)M x y 10||MF ex a =--20||MF ex a =-+23．若双曲线（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜
22
221x y a b
-=
时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 1与PF 2的比例中项.
124．P 为双曲线（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线左支内一定
22
221x y a b
-=点，则，当且仅当三点共线且在左支时，等号成立. 21||2||||AF a PA PF -≤+2,,A F P P 25．双曲线（a ＞0,b ＞0）上存在两点关于直线：对称的充要条
22
221x y a b -=l 0()y k x x =-件是.
2222
0222()0a b a x k k a b k b +⎛⎫>≠≠± ⎪-⎝⎭
且26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应
焦点的连线必与切线垂直. 27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦
半径互相垂直.
28．P 是双曲线（a ＞0，b ＞0）上一点，则点P 对双曲线两焦点张直角的充要
sec tan x a y b ϕ
ϕ=⎧⎨
=⎩条件是. 2
2
11tan e ϕ
=-29．设A,B 为双曲线（a ＞0,b ＞0，）上两点，其直线AB 与双曲
22
22x y k a b
-=0,1k k >≠线相交于，则. 22
221x y a b
-=,P Q AP BQ =30．在双曲线中，定长为2m （）的弦中点轨迹方程为
22
221x y a b
-=0m >()()222222
222
22
2222
221cosh sinh ,coth ,001sinh cosh coth ,00x y ay a t b t t x t a b bx m x y bx a t b t t y t a b ay ⎧⎡⎤⎛⎫--+=-==⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎪⎣⎦=⎨
⎡⎤⎛⎫⎪--+=-==⎢⎥ ⎪⎪⎝
⎭⎣⎦⎩时，弦两端点在两支上
，时，弦两端点在同支上
31．设S 为双曲线（a ＞0,b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在双曲线右
22
221x y a b
-=支上移动，记|AB|=，是AB 中点，则当时，有l 00(,)M x y l S ≥Φ20min ()2a l x c e
=
+,)；当时，有. 222(c a b =
+c e a =l S <Φ0min ()x =
32．双曲线（a ＞0,b ＞0）与直线有公共点的充要条件是
22
221x y a b
-=0Ax By C ++=.
22222A a B b C -≤33．双曲线
（a ＞0,b ＞0）与直线有公共点的充22
0022()()1x x y y a b ---=0Ax By C ++=要条件是.
22222
00()A a B b Ax By C -≤++34．设双曲线（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线镭射贴
22
221x y a b
-=上任意一点，在△PF 1F 2中，记, ,，则有
12F PF α∠=12PF F β∠=12F F P γ∠=.
sin (sin sin )c
激光除锈e a
αγβ==±-35．经过双曲线（a ＞0,b ＞0）的实轴的两端点A 1和A 2的切线，与双曲线上任
22
221x y a b
-=一点的切线相交于P 1和P 2，则. 2
1122||||P A P A b ⋅=36．已知双曲线（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且
22
221x y a b
-=.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）OP OQ ⊥2222
1111||||OP OQ a b +=-22224a b b a -
的最小值是. OPQ S ∆22
2
2
a b b a
-37．MN 是经过双曲线（a ＞0,b ＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB 是经过
22
221x y a b
-=双曲线中心O 且平行于MN 的弦，则.
2
||2||AB a MN =38．MN 是经过双曲线（a ＞b ＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O
22
221x y a b
-=的半弦，则. OP MN ⊥22
22111
||||a MN OP b a -=-39．设双曲线（a ＞0,b ＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，
22
221x y a b
-=过M 引一条直线与双曲线相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为两顶点)的交点N
在直线：上.
l 2
a x m
=40．设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 41．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
42．设双曲线方程，则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线：的共轭
22
221x y a b
-=l y kx =直线上，而且.
'
y k x =2'2b kk a
=43．设A 、B 、C 、D 为双曲线（a ＞0,b ＞o ）上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜
22
221x y a b
-=角分别为，直线AB 与CD 相交于P，且P 不在双曲线上，则,αβ. 22222222
||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββ
αα
⋅-=⋅-44．已知双曲线（a ＞0,b ＞0），点P 为其上一点F 1, F 2为双曲线的焦点，22
221x y a b
-=12
F PF ∠的内（外）角平分线为，作F 1、F 2分别垂直于R 、S ，当P 跑遍整个双曲线时，R 、S 形
l l 成的轨迹方程是(). 222x y a +=()()
2
22222
2
222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤-±⎣⎦=-±45．设△ABC 三顶点分别在双曲线上，且AB 为的直径，为AB 的共轭直径所在的直ΓΓl 线，分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为上一点，则CD 与双曲线相切的充要条件
l l Γ是D 为EF 的中点.
46．过双曲线（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，
22
221x y a b
-=弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则
. ||||2
PF e
MN =47．设A （x 1 ,y 1）是双曲线（a ＞0,b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为22
kinect运动221x y a b -=212
1
b x a y 的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 分别是A 到双曲线两焦点的距离，则
12,r r
.
ab =48．已知双曲线（a ＞0,b ＞0）和（ ），一条直线顺次与
22221x y a b -=22
22x y a b
λ-=01λ<<；它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.
49．已知双曲线（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分
22
221x y a b
-=线与x 轴相交于点, 则或.
0(,0)P x 220a b x a +≥22
0a b x a
+≤-50．设P 点是双曲线（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记
22
221x y a b
-=，则(1).(2) . 12F PF θ∠=2122||||1cos b PF PF θ=
-122
cot 2
PF F S b θ∆=51．设过双曲线的实轴上一点B （m,o ）作直线与双曲线相交于P 、Q 两点，A 为双曲线实
轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：于M ，N 两点，则
x n =. 90MBN ∠=
()2
22
2
()a n m a m a m b n a --⇔=-++52．L 是经过双曲线（a ＞0,b ＞0）焦点F 且与实轴垂直的直线，A 、B 是双曲
22
221x y a b
-=线的两个顶点，e 是离心率，点，若，则是锐角且或
P L ∈APB α∠=α1
sin e
α≤（当且仅当时取等号）.
1
sin arc e
α≤||PF b =53．L 是经过双曲线（a ＞0,b ＞0）的实轴顶点A 且与x 轴垂直的直线，E 、F
22
221x y a b
-=是双曲线的准线与x 轴交点，点，e 是离心率，，H 是L 与X 轴的交点c
P L ∈EPF α∠=是半焦距，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.
α1sin e α≤1sin arc e α≤||ab
全合成切削液配方
PA c
=54．L 是双曲线（a ＞0,b ＞0）焦点F 1且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线准
22
221x y a b
-=线与x 轴交点，H 是L 与x 轴的交点，点，，离心率为e ，半焦距为c ，则
P L ∈EPF α∠=
为锐角且或（当且仅当时取等号）.
α21sin e α≤21sin arc e α≤1||PF =55．已知双曲线（a ＞0,b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2，且与双曲线右支交于
22
221x y a b
-=A 、B 两点，将A 、B 与双曲线左焦点F 1连结起来，则（当且仅222
112
(2)||||a b F A F B a
+⋅≥当AB ⊥x 轴时取等号）.
56．设A 、B 是双曲线（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，
22
221x y a b
-=, ,，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)PAB α∠=PBA β∠=BPA γ∠=.(2) .(3) . 22222|cos ||||s |ab PA a c co αα=-2
tan tan 1e αβ=-222
2
2cot PAB a b S b a
γ∆=+
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