近世代数课后习题参考答案
第二章 论
1 论
证 不是一个,因为不适合结合律.
2. 举一个有两个元的的例子.
证 对于普通乘法来说是一个.
3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 来作的定义:
. 至少存在一个右单位元,能让 对于的任何元都成立
. 对于的每一个元,在摄像头识别里至少存在一个右逆元能让
证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由 得
因为由有元能使
所以
即
(2) 一个右恒等元一定也是一个左恒等元,意即
由 得
即
这样就得到的第二定义.
(3) 证 可解
取
这就得到的第一定义.
反过来有的定义得到是不困难的.
2 单位元,逆元,消去律
1.若的每一个元都适合方程,那么就是交换.
证 由条件知中的任一元等于它的逆元,因此对有.
2.在一个有限里阶大于2的元的个数是偶数.
证 (1) 先证的阶是则的阶也是.
若有 使 即 因而 这与的阶是矛盾.的阶等于的阶
(2) 的阶大于, 则 若 这与的阶大于矛盾
(3) 则
总起来可知阶大于的元与双双出现,因此有限里阶大于的元的个数一定是偶数
3.假定是个数一个阶是偶数的有限,在里阶等于的元的
个数一定是奇数.
证 根据上题知,有限里的元大于的个数是偶数;因此阶
的元的个数仍是偶数,但阶是的元只有单位元,所以阶
的元的个数一定是奇数.
4.一个有限的每一个元的阶都是有限的.
证
故
由于是有限,所以这些元中至少有两个元相等:
故
是整数,因而的阶不超过它.
4 的同态
假定在两个和的一个同态映射之下,，和的阶是不是一定相同?
证 不一定相同
例如
对普通乘法都作成,且(这里是
的任意元,是的元)
由 可知 ∽
但 的阶都是.
而的阶是.
1.假定是集合的一个非一一变换,会不会有一个左逆元,使得?
证 我们的回答是回有的
: 1→1 1→1
2→1 2→3
3→2 3→4
4→3 4→5
…
…
显然是一个非一一变换但
2.假定是所有实数作成的集合.证明.所有的可以写成是有理数,形式的变换作成一个变换.这个是不是一个交换?
证 (1)
是有理数 是关闭的.
(2)显然时候结合律
(3) 则
(4)
而 所以构成变换.
又 :
故因而不是交换.
3. 假定是一个集合的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号: 来说明一个变换.证明,我们可以用: 来规定一个的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说还是的单位元.
证
那么
显然也是的一个变换.
现在证这个乘法适合结合律:
故
再证还是的单位元
4． 证明一个变换的单位元一定是恒等变换。
证 设是是变换的单位元
，是变换，故是一一变换，因此对集合
的任意元，有的元，
=
另证
根据习题知
5.证明实数域上一切有逆的矩阵乘法来说，作成一个。
证 ={实数域上一切有逆的矩阵}
则是的逆
从而
对矩阵乘法来说，当然适合结合律且（阶的单位阵） 是的单位元。
故 作成。
1. 出所有的不能和交换的元.
证 不能和交换的元有 这是难验证的.
解: 的所有元用不相连的循环置换写出来是:
(1), (12), (13), (23), (123), (132).
3. 证明:
(1) 两个不相连的循环置换可以交换
(2)
证(1) =
=(
又 )=
=,故
(2) ,故.
3.证明一个K一循环置换的阶是K.
证 设
…………
清理废旧钢筋
设, 那么
5．证明的每一个元都可以写成这个２－循环置换
中的若干个乘积。
证 根据定理２。的每一个元都可以写成若干不相干循环置换的乘积
而我们又能证明
同时有, 这样就得到所要证明的结论。
则
7 循环
1．证明 一个循环一定是交换。
证 ，
则
2．假设的元的阶是，证明的阶是这里是和的最大公因子
证 因为 所以凝胶珠而
3.假设生成一个阶是的循环。
证明也生成，假如(这就是说和互素)
证 生成一个阶是的循环，可得生成元的阶是，这样利用上题即得所证，
或者，由于有
即
故
4 假定是循环，并且与同态，证明也是循环。
证 有2。4。定理1知也是，
设 且(是同态满射)
则存在使 因而∽
故 即
因而 即Ã=（ã）
5．假设是无限阶的循环，是任何循环，证明与同态。
证 ⅰ）设是无限阶的循环，
令
且
所以∽
ⅱ）设而的阶是。
令： 当且只当,
易 知是到的一个满射
设则
那么
∽
8 子
1．出S3的所有子
证S3={}的子一定包含单位元。
防爆蓄电池 ⅰ）S3本身及只有单位元都是子
ⅱ）包含和一个2一循环的集合一定是子因
={}， ={}， ={}亦为三个子
ⅲ）包含及两个3—循环置换的集合是一个子
， ={}是子，有以上6个子，
今证只有这6个子，
ⅳ）包含及两个或三个2—循环置换的集合不是子因不属于此集合
ⅴ)若一集合中3—循环置换只有一个出现一定不是子
因
ⅵ)一个集合若出现两个3—循环置换及一个2—循环置换不是子
因
ⅶ）3—循环置换及2—循环置换都只有两个出现的集合不是子
因若出现 则
故有且只有6个子。
2.证明；的两个子的交集也是的子。
证是的两个子，
显然非空 则 同时
因是子，故，同时
所以
故是的子
3．取的子集，生成的子包含哪些个元？一个的两个不同的子集不会生成相同的子？
证
酱油桶
从而
的两个不同的子集会生成相同的子
生成的子为{}
生成的子为{}
4．证明，循环的子也是循环。
证 =（）是循环，是的子
设，而时。
任意 则 因而
因，所以是循环.
5. 出模12的剩余类加的所有子
证 剩余类加是循环故其子是循环.
={}
(ⅰ)
(ⅱ)
(ⅲ)即
(ⅳ) 即
(ⅴ) 即
(ⅵ) ([6]) 即
有且只有以上6个 子.
6.假定是的一个非空子集,并且的每一个元的阶都有限,证明,作成子的充要条件:推出
证 必要性 显然
充分性推出,(*)所以只证推出即可.
,的阶有限 设为
即
所以
由(*) 可知,因而
这样作成的子.
9 子的陪
1. 证明阶是素数的一定是循环
证：设的阶是素数,
则可到而, 则的阶,
根据定理3知, 但是素数,故,
那么是的个不同元,所以恰是的不同元,故.
2. 证明阶是的(是素数)一定包含一个阶是的子.
证：设阶是的为, 是正整数, 可取, 而,
根据定理3, 的阶是而, 进一步可得的阶为.
是阶为的的子.
3. 假定和是一个的两个元,并且,又假定的阶是，
的阶是并且.证明:的阶是
证 .
设
则
故
故又
因此的阶是.
4.假定~是一个的元间的一个等价关系,并且对于的任意三个元来说,证明与的单位元等价的元所作成的集合为
证 由于~是等价关系,故有即,则
因而
由题设可得
由对称律及推移律得
再由题设得
即
这就证明了是的一个子.
5.我们直接下右陪集的定义如下:刚好包含的可以写成
的每一个元属于而且只属于一个右陪集
. 证 任取则
这就是说,的每一个元的确属于一个右陪集
若则
则,因而
故Ha=Hb
这就证明了,的每一个元只属于一个右陪集.
6. 若我们把同构的看成是一样的,一共只存在两个阶是的,
它们都是交换.
证 设是阶为的.那么的元的阶只能是
1．若有一个元的阶为,则为循环;
2. 若有一个元的阶为,则除单位元外,其他二元的阶亦均未.
就同构的观点看阶为的,只有两个; 由下表看出这样的的确
存在. 循环
| 0 1 2 3 |
0 | 0 1 2 3 |
1 | 1 2 3 0 |
2 | 2 3 0 1 |
3 | 3 0 1 2 |
| |
非循环
表面微弧氧化处理
| e a b c |
e | e a b c |
a | a e c b |
b | b c e a |
c | c b a e |
| |
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议