2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
本试卷共23题，共150分，共5页。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
A. B. C. D.
2.已知集合A=｛（x，y）｜x ²+y ²≤3，x∈Z，y∈Z｝，则A中元素的个数为
A.9
B.8
C.5
D.4
3.函数f（x）=e ²-e-x/x ²的图像大致为
A.
B.
C.
D.
4.已知向量a，b满足∣a∣=1，a·b=-1，则a·（2a-b）=
A.4
B.3
C.2
D.0
5.双曲线x ²/a ²-y ²/b ²=1（a﹥0，b﹥0）的离心率为，则其渐进线方程为
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±
D.y=±
6.在中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=
A.4
B.
C.
宋殿权D.2
7.为计算s=1-+-+…+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入
弹弓制作A.i=i+1
B.i=i+2
C.i=i+3
D.i=i+4
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A. B. C. D.
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，
A. B.
10.若f（x）=cosx-sinx在［-a，a］是减函数，则a的最大值是
A. B. C. D. π
11.已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x）。若f（1）=2，则f（1）+ f
（2）+ f（3）+…+f（50）=
A.-50
B.0
C.2
D.50
12.已知F1，F2是椭圆C: =1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为
A..
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为________。
14.若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为_________。
15.已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=________。
16.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为
，则该圆锥的侧面积为________。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=-7，S1=-15。
（1）求{a n}的通项公式；
（2）求S n，并求S n的最小值。
18.（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型。根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=-30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t。 （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。
19.（12分）设抛物线C：y²=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k>0）的直线l与C交于A，B两点，| AB|=8。（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程。
20.（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点。
（1）证明：PO⊥平面ABC；
竹模板
（2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值。
21、（12分）已经函数f （x ）=e x
-ax 2
。导线弧垂计算公式
风机盘管电机（1）若a=1，证明：当x ≥ 0时，f （x ）≥ 1； （2）若f （x ）在（0，+∞）只有一个零点，求a 。
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22、[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为
（ θ 为参数），直线l 的参数方程为，
（t 为参数）。
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为（1，2），求l 的斜率。
23：[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设函数f （x ）=5-| x+a|-| x-2|。
（1）当a=1时，求不等式f （x ）≥ 0的解集； （2）若f （x ）≤ 1时，求a 的取值范围。 参考答案: 一、选择题
1.D
2.A
3.B
4.B
5.A
6.A
7.B 8.C 9.C 10.A 11.C 12.D 二、填空题 13.2y x =
14.9
15.1
2
-
16.402π
三、解答题 17. (12分)
解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.
由17a =-得d =2.
所以{}n a 的通项公式为29n a n =-.
（2）由（1）得22
8(4)16n S n n n =-=--.
所以当n =4时,n S 取得最小值，最小值为−16.
18.(12分)
解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
ˆ30.413.519226.1y
=-+⨯=(亿元). 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
ˆ9917.59256.5y
=+⨯=(亿元). （2）利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型ˆ9917.5y
t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠.学.科网
（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿
元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠. 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19.(12分)
解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->.
设1221(,),(,)A y x y x B ， 由2
(1),
4y k x y x
=-⎧⎨
=⎩得2222
(24)0k x k x k -++=.
2
16160k ∆=+>，故1222
24
k
碎片文件x k x ++=. 所以1222
44
||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=.
由题设知22
44
8k k +=，解得1k =-（舍去），1k =. 因此l 的方程为1y x =-.
（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则
0022
0005,
(1)(1)16.2
y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=
+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22
(11)(6)144x y -++=.
20.(12分)
解：（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥
，且OP =连结OB .
因为2
AB BC AC ==，所以ABC △为等腰直角三角形， 且OB AC ⊥，1
22
OB AC =
=. 由222
OP OB PB +=知PO OB ⊥.
由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC .
（2）如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议