没错，所有⾃然数之和是-112
数学⽼师曾告诉我们，只有收敛的级数才能求解⽆穷项之和，然⽽在⼀些科普书中，却会遇到⼀个神奇的求和： 所有⾃然数之和怎么会是负数，⽽且还是个分数？这到底是⼈性的扭曲，还是道德的沦丧？
把对称轴当作级数和
柔性线路想要理解这个古怪的结论，我们先来看⼀个简单的例⼦：1, -1, 1, -1, ……这个序列可以求⽆穷项之和吗？意⼤利数学家格兰迪（Dom Guido Grandi，1671-1742）早在1703年就开始认真琢磨这个问题，可以说，这是所有发散级数求和研究的起点，这个序列后来就被命名为“格兰迪级数”。
意⼤利数学家格兰迪⼁图源：
也许有⼩伙伴猜测，这个序列中1和-1的数量既然同样多，那么总和就应该等于0。可惜这样的猜测是错误的。⽆穷集就像个再⽣能⼒很强的变形⾍，部分与整体同样多。我们从序列中拿⾛任意个1或者-1之后，剩下的1和-1数量仍然相同。如果所剩下的1和-1加和为零的话，那么岂不是总的求和仅由先取出的1或-1的数量决定——也就是任意整数。这显然太不靠谱了，看来压根不能依靠⽐较1和-1的数量来求和。
还有个办法，就是借助收敛的级数寻线索。我们知道，在|q|<1时，
现在我们粗暴地让q=-1，于是就出现了
这个结果似乎还能令⼈接受，可是，q=-1毕竟是个“不合法”的条件，我们需要更合理的途径来安抚内⼼的不安。如果把这个级数的前n项和记做A(n)，我们现在动⼿来求 A(∞)。
哈！根据这个等式，我们⼜⼀次得到了 A(∞)=½ 的结果。这回貌似没有明显违法的地⽅了，警察来了也不怕。可是，总还是感觉哪⾥不对。
A(1)=1
A(2)=1-1=0
A(3)=1-1+1=1
…
可以看出A(n)在1和0之间来回跳动，按照极限的定义，这个极限不存在。当我们写下A(∞)这个符号时，它究竟指代什么，还没有清楚的定义。其实这也是发散级数求和的基础问题：如何定义发散级数的和。 相关的定义不⽌⼀种。⼤体来说，主要有切萨罗求和与阿贝尔求和两类，另外拉马努⾦和黎曼等⼈也
发展出许多更⼀般性的理论，中间还掺有源⾃欧拉的诸多贡献。那些数学语⾔虽严格，但催眠和劝退的副作⽤也不⼩，所以本⽂不打算纠结于那些从集合论谈起的基础定义，只使⽤⾮常“物理”的视⾓来定义： A(∞)表⽰所有A(n)的平均值。
以“平均值”定义的求和⽅式，使许多发散级数都可以进⾏求和。例如
1-2+3-4…
这个级数，也可以⽤同样的⽅法直接⽤眼睛瞪出结果。我们⽤B(n)表⽰前n项和，即，那么
偏振分束器
B(0)=0
B(1)=1
B(2)=1-2=-1
B(2)=1-2=-1
B(3)=1-2+3=2
…
把这些B(n)所对应的点画在图上之后，完全不需要动笔计算，⽤眼睛就可以直接看出所有B(n)的平均值是1/4。
如果只看图还不放⼼，我们也可以借助前⾯ A(∞)=½ 的结论来推算B(∞)：
奶茶杯架稍微调整等式右边的计算顺序，先让前⾯括号内第n项减去后⾯括号内第n项，然后再做加和。
即
A(∞)-B(∞)=B(∞)
知识竞赛系统
所以
B(∞)=½A(∞)=¼
把⾃然数之和变成-1/12的魔术
管式直线电机当然，画出点来再⽤眼睛直接瞪出结果的⽅法，有时候也需要⼀些技巧。就以全体⾃然数之和为例，我们同样地令C(n)代表前n项和
⿇烦出现了！显然C(n)对应的点都分布在⼀根上扬的抛物线上，没办法直接看出平均值，⽽且看起来压根就不存在有限的平均值！别急，我们可以继续变形。
这样我们就把每个C(n)对应的点，都拆成上式中绿⾊项和紫⾊项所对应的两个“半点”分别画出来，居然⼜可以凑成两条对称的曲线。 当我们把⽆限个“半点”都⾟苦画完之后。就可以指着两根曲线中间的对称轴宣布：
因为所有C(n)的平均值就等于所有“半点”的平均值，⽽两根曲线上的“半点”分布完全对称，只在绿⾊曲线的开头位置差了⼀个⽆关紧要的0。
除了看图猜值，我们也可以借助刚才的 B(∞)=¼ 那个结果，再来计算⼀遍 C(∞)。
调整顺序后
于是得到
所以
其实，能够得到 -1/12 这个结果的途径还有许多。例如神奇的Zeta函数
这个以复数s为变量的函数，因著名的黎曼猜想及其与数论的紧密联系⽽被反复研究。数学家们可以写出这个函数的许多种变化形式，其中⼀种解析延拓到全部复平⾯的形式是
⽤这个形式也可以计算出
既然经过这么多五花⼋门的⽅式，都殊途同归到 -1/12 这个结果，我们是不是可以把 1+2+3+…=-1/12 这个式⼦堂⽽皇之地写进中学课本中呢？相信许多⼈会跟我⼀样，对此仍惶恐不安。因为在前述所有推演过程中，都埋藏着⼀个颇为隐蔽的问题，那就是等号的意义。将
或
直接写成
>瑞利衰落信道
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议