2020年中考数学复习：《三角形综合》专题训练
1．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD；
小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题． 方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题．
（1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC＝AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题； （2）如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，以AC为边作等边△ACD，连接BD．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，AB＝4，求△BCD的面积；
（2）如图2，若∠ACB＜90°，点E为BD中点，连接AE、CE，且AE⊥CE，延长BC 至点F，连接AF，使得∠F＝30°，求证AE．
3．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；
（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；
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（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求证m+n为定值，并求出其值．
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道路检测4．如图1，张老师在黑板上画出了一个△ABC ，其中AB ＝AC ．让同学们进行探究．
；
（1）探究一：如图2，小明以BC 为边在△ABC 内部作等边△BDC ，连接AD ．请直接写出∠ADB 的度数（2）探究二：如图3，小彬在（1）的条件下，又以AB 为边作等边△ABE ，连接CE ．判断CE 与AD 的数量关系，并说明理由；硅胶模具制作
（3）探究三：如图3，小聪在（2）的条件下，连接DE ．若∠DEC ＝60°，DE ＝2，求AE 的长．
5．如图，△ABC 是等边三角形，AB ＝6，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重合），Q 是CB 延长线上一动点，与点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过P 作PE ⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于D ．
（1）证明：在运动过程中，点D 是线段PQ 的中点； （2）当∠BQD ＝30°时，求AP 的长；
（3）在运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化请说明理由．
6．如图，CD，BE是△ABC的两条高线，且它们相交于F，H是BC边的中点，连结DH，DH与BE相交于点G，已知CD＝BD．
（1）求证BF＝AC．
（2）若BE平分∠ABC．
①求证：DF＝DG．
②若AC＝8，求BG的长．
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7．已知等边△ABC和等腰△CDE，CD＝DE，∠CDE＝120°．
（1）如图1，点D在BC上，点E在AB上，P是BE的中点，连接AD，PD，则线段AD与PD之间的数量关系为；
（2）如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，P是BE的中点，连接AD，PD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，若点D在△ABC内部，点E和点B重合，点P在BC下方，且PB+PC为定值，当PD最大时，∠BPC的度数为．
8．阅读下面材料：
金玻璃小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD、CE 交于点F，CE＝BE，且∠BEC+∠BDC＝180°．求证：AC＝BF．
小明经探究发现，在AB上取一点G（不与E点重合），使CE＝CG，连接CG（如图2），从而可证△BEF≌△CGA，使问题得到解决．
（1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程
；参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：
（2）如图3，等腰△ABC中，AB＝AC，D、F在直线BC上，DE＝BF，连接AD，过点E作EG∥AC交FG于点G，∠DFG+∠D＝∠BAC，请在图中出一条和线段AD相等的线段，并证明．
9．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．
（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN ＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．
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