2020年普通高等学校招生全国统一考试试卷
（安徽卷、文科数学）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。 2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。 4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式：
如果时间A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+
如果时间A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =g g 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()
1n k
k
k
n n P k C P P -=-
球的表面积公式2
4S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式34
3
V R π=
，其中R 表示球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
关联成像（1）设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,3,5}S =，{3,6}T =，则()U C S T ⋃等于（ ）
A ．∅
B ．{2,4,7,8}
C ．{1,3,5,6}
D ．{2,4,6,8}
解：{1,3,5,6}S T ⋃=，则()U C S T ⋃＝{2,4,7,8}，故选B
（2）不等式11
2
x <；的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(,2)-∞⋃(2,)+∞
解：由112x <；得：112022x x x
--=<，即(2)0x x -<，故选D 。
（3）函数1
()x y e x R +=∈的反函数是（ ） A ．1ln (0)y x x =+> B ．1ln (0)y x x =->
C ．1ln (0)y x x =-->
D ．1ln (0)y x x =-+>
解：由1
x y e +=得：1ln ,x y +=即x=-1+lny ，所以1ln (0)y x x =-+>为所求，故选
D 。
（4）“3x >”是2
4x >“的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 解：条件集是结论集的子集，所以选B 。
（5）若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4
解：椭圆22
162
x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D 。设备防尘罩
（6）表面积为23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 A ．
23π B ．13π C ．2
3
π D ．223π 解：此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由2 3823a ⨯=知，1a =，则此球的直径为2，故选A 。
（7）直线1x y +=与圆22
20(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是
A ．(0,21)-
B ．(21,21)-+
C ．(21,21)--+
D ．(0,21)+ 解：由圆2
2
20(0)x y ay a +-=>的圆心(0,)a 到直线1x y +=大于a ，且0a >，选A 。
（8）对于函数()sin 1
(0)sin x f x x x
π+=
<<，下列结论正确的是（ ）
A ．有最大值而无最小值
B ．有最小值而无最大值
C ．有最大值且有最小值
D ．既无最大值又无最小值 解：令sin ,(0,1]t x t =∈，则函数()sin 1
(0)sin x f x x x
π+=
<<；的值域为函数
11,(0,1]y t t =+∈的值域，而1
1,(0,1]y t t
=+∈是一个减函减，故选B 。
（9）将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
变压器油泵r 平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）
A ．sin()6y x π
=+ B ．sin()6
y x π
=- C ．sin(2)3y x π=+
D ．sin(2)3
y x π
=- 解：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
r 平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6
y x π
ω=+，由图
象知，73(
)1262
πππ
ω+=
，所以2ω=，因此选C 。 （10）如果实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪++≤⎩
，那么2x y -的最大值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．2-
D ．3- 解：当直线2x y t -=过点(0，-1)时，t 最大，故选B 。
（11）如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则
（ ）
A ．111A
B
C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形
C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形
D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形
解：111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是
耐酸碱保护膜锐角三角形，由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩，得212121222A A B B C C πππ⎧
=-⎪⎪
⎪
=-⎨⎪
⎪
=-⎪⎩
，那么，2222A B C π++=，
所以222A B C ∆是钝角三角形。故选D 。
（12）在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰．．三角形的概率为（ ）
A ．
17 B ．27 C ．37 D ．4
7
解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得3
8C 个三角形，要得直角非等腰．．
三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得38
24
C ，所以选C 。
2020年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）理科数学
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
请用0.5毫米黑墨水签字笔在答题卡．．．上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．。 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。
（13）设常数0a >
，4
2ax ⎛ ⎝
展开式中3
x 的系数为32，则a ＝_____。 解：14822
14r r r r r T C a x x ---+=，由18232,2,r r x x x r --==得4431=22r r C a -由知a=。
（14）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r
，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r _______。（用a b r r
、
表示） 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12
AM a b =+u u u u r r r
，所以
3111()()4244
MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r 。
（15）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()
1
2f x f x +=，若()15,f =-则
()()5f f =__________。
解：由()()12f x f x +=得()()
1
4()2f x f x f x +=
=+，所以(5)(1)5f f ==-，则
()()11
5(5)(1)(12)5
f f f f f =-=-=
=--+。
（16）平行四边形的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，已知其中有两个顶点到α的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面α的距离可能是： ①1； ②2； ③3； ④4； 以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号．．） 解：如图，B 、D 到平面α的距离为1、2，则D 、B 的
中点到平面α的距离为3
2
，所以C 到平面α的距离为3；
B 、
C 到平面α的距离为1、2，
D 到平面α的距离为x ，则1221x x +=+=或，即1x =，所以D 到平面α的距
离为1；
C 、
D 到平面α的距离为1、2，同理可得B 到平面α的距离为1；所以选①③。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
（17）（本大题满分12分）已知40,sin 2
5
π
αα<<
=
（Ⅰ）求22
sin sin 2cos cos 2αα
αα
++的值； （Ⅱ）求5tan()4
π
α-的值。
解：(Ⅰ)由40,sin 25παα<<=，得3
cos 5
α=，所以22
sin sin 2cos cos 2αααα++＝22
sin 2sin cos 203cos 1
ααα
α+=-。 （Ⅱ）∵sin 4tan cos 3ααα==，∴5tan 11
tan()41tan 7
πααα--==+。
（18）（本大题满分12分）在添加剂的搭配使用中，为了到最佳的搭配方案，需要
对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度
分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。
（Ⅰ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率； （Ⅱ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率；
解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A ，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B
（Ⅰ）芳香度之和等于4的取法有2种：
(0,4)、(1,3)，故2()15
P A =
。 （Ⅱ）芳香度之和等于1的取法有1种：(0,1)；芳香度之和等于2的取法有1种：
(0,2)，故22661113()1(
)15
P B C C =-+=。 （19）（本大题满分12分）如图，P 是
边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，1PA =，P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O 。
A
B
C
D E
F O P
第19题图
H
A
B
C D
第16题图
α
（Ⅰ）证明PA ⊥BF ；
（Ⅱ）求面APB 与面DPB 所成二面角的大小。
解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF 中，ABF V 为等腰三角形，
∵P 在平面ABC 内的射影为O ，∴PO ⊥平面ABF ，∴AO 为PA 在平面ABF 内的射影；∵O 为BF 中点，∴AO ⊥BF ，∴PA ⊥BF 。
（Ⅱ）∵PO ⊥平面ABF ，∴平面PBF ⊥平面ABC ；而O 为BF 中点，ABCDEF 是正六边形 ，∴A 、O 、D 共线，且直线AD ⊥BF ，则AD ⊥平面PBF ；又∵正六边形ABCDEF 的边长为1，∴
12AO =
，3
2
DO =
，2BO =。
过O 在平面POB 内作OH ⊥PB 于H ，连AH 、DH ，则AH ⊥PB ，DH ⊥PB ，所以AHD ∠为所梨花化妆品
求二面角平面角。
在AHO V 中，
OH=4
1
tan AO
AHO OH ∠==
=
3
。 在DHO V
中，3
tan DO
DHO OH ∠===
而tan tan()AHD AHO DHO ∠=∠+∠== （Ⅱ）以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，1
2
-
,0)，
0,0)，D(0,2，0)，∴1
(0,,1)2
PA =--u u u r
，1)PB =-u u u r ，(0,2,1)PD =-u u u r 设平面PAB 的法向量为111(,,1)n x y =u r ，则1n PA ⊥u r u u u r ，1n PB ⊥u r u u u r
，得11
1
102
10
y x ⎧--=⎪⎪-=
，
12,1)n =-u r ；
设平面PDB 的法向量为222(,,1)n x y =u u r ，则2n PD ⊥u u r u u u r ，2n PB ⊥u u r u u u r
，得22210102
y x -=⎧-=⎩
，
21,1)2
n =u u r ；
12
1212cos ,||||
n n n n n n ⋅<>==⋅u r u u r
u r u u r u
r u u r （20）（本大题满分12分）设函数()3
2
()f x x bx cx x R =++∈，已知
二次开发平台
()()()g x f x f x '=-是奇函数。
（Ⅰ）求b 、c 的值。
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