辽宁省鞍山市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知圆心角是2弧度的扇形的周长为4，则扇形的面积为（）A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
2．已知6a = ，3b =r ，a b -=
,a b = （
）
A ．
4
πB ．
3
πC ．
2
πD ．
23
π3．已知2cos 3x =，且x 为第四象限角，则tan 2电缆接头闵彬管业
x
=（）
A ．5
-
B C D ．
4．已知sin 3
x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2x =（
）
A ．
B
C
插床型号D ．5．点A 的坐标为()1,3，将点A 绕原点逆时针旋转4
π
后到达C 点位置，则C 的横坐标为（
）
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A ．
2
B ．2
-C ．D ．6．已知ABC 中，4AB =，1AC =，BC
ABC 的面积是（）
A
B ．
C ．6
D ．7．若()()sin f x A x =+ωϕ的图像如下图所示，且16 π
和
516
π
是()f x 最小的两个正零点，
若()02
f =-
，则()f x 的解析式可以是（）
A ．()sin 44f x x π⎛
⎫=-+ ⎪
⎝
⎭B ．()sin 44f x x π⎛
⎫=- ⎪
⎝
⎭C ．()sin 44f x x π⎛
⎫=-+ ⎪
⎝⎭D ．()cos 44f x x π⎛
⎫=-- ⎪
⎝
⎭
8．已知2a b ==r r ，2a b ⋅= ，()()
20a c b c -⋅-= ，则a c - 的最大值为（
）
A ．
1B ．2C ．2D ．4
二、多选题
⎫=+ ⎪⎝
⎭，则下列说法正确的是（）
A ．03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
B ．()f x 的最小正周期为π
C ．直线12
x π
美团配送箱怎么安装=
是函数()f x 的一条对称轴D ．()f x 的图象关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称
10．已知函数()sin 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，为了得到函数()sin 2g x x =，可将函数()f x （
）
A ．图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再向左平移
3πB ．图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再向右平移
6
π
C ．图像向右平移3π
，再将所得图像上每一点的横坐标缩短为原来的2倍（纵坐标不变）
D ．图像向右平移3
π
，再将所得图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）
11．在斜ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别记为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（）
A ．cos 2cos 2A
B A B >⇔<B ．sin 2sin 2A B A B >⇔>
C ．若A B >，则22tan tan A B
>D ．若cos sin c a B b A =+，则4
A π
=
12．已知()2
sin sin cos f x x x x ωωω=⋅，0ω>，若()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上恰有2个零点12,x x ，
且12x x <，则下列说法正确的是（）
A ．存在ω使()f x 是奇函数
B ．当3
2ω=
时，249
x π=C ．
4
23
ω≤<D ．()f x 在0,6π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增
三、填空题
13．()3,0AB =u u u r ，()0,3AC = ，
13
BD BC = ，则AC 在AD
上投影的数量为______．14．ABC 中，
3
A π
=
，4
B π
=
，BC =，则ABC 的周长是______．
15．已知1cos 263x π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，则22cos sin x x -=______．
16．ABC 中，3A π
=，2AC =，3AB =，D 是边BC 上一点，1123AD AC AB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
∥u u u r u u u r u u u r ，
则AD =
______．
四、解答题
17．已知函数()
()3sin sin 2cos 3tan x x f x x x
ππ⎛
⎫⋅- ⎪
⎝
⎭=--⋅．(1)求353f π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；
(2)若()1332f f πθθ⎛⎫
=--
⎪⎝⎭，求2cos 2sin 10sin 2cos sin θθθθθ++-的值．18．已知向量()1,3a = ，()1,2b =-r
．(1)求向量a ，b
的夹角的余弦值；
(2)若()3,c t =r ，且23a b - 与c
的夹角为钝角，求t 的取值范围．
19．已知函数()f x a b =⋅
，其中()cos ,2sin a x x =r
，()
2cos b x x =r ，x R ∈，
(1)求()f x 的最小正周期和对称中心；
(2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()2f A =
，a 3b c +的取值范围．
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20．已知在ABC ，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，记ABC 的面积为S ，其中3
sin 5
ACB ∠=
，且2224b c a S +-=．(1)求角A 的大小和sin B 的值．(2)若D 为边AB 的中点，且21
2
S =
，求CD 的长．21．已知函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭的图像向左平移6π个单位，得到函数()g x 的
图像，且()g x 为偶函数．(1)求函数()f x 和()g x 的解析式；
(2)若对a ∀，[]0,b m ∈．当a b <；时，都有()()()()f b f a g a g b ->-成立，求m 的取值范围；
(3)若关于x 的方程()()f x g x k +=在130,6π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恰有四个不等实根1x ，2x ，3x ，
()41234x x x x x <<<，求k 的取值范围和123422x x x x +++的值．
22．在近年，中国采用“吹沙填海”的方式，成功将部分小岛礁连成一片，可以进而形成
一个大岛礁．已知南海上存在A 、F 、E 、D 四个小岛礁，它们在一条直线上且满足AF FE ED ==，若通过“吹沙填海”的方式建成了如图所示一个矩形区域ABCD 的大岛
礁，其中2120AD AB ==米．
(1)P 为线段BC 上一点，求22PE PF +最小值；(2)P 为线段BC 上一点，求cos EPF Ð的最小值；(3)因特殊原因，划定以A 圆心，AB 为半径的
1
4
圆的区域为“隔离区”，拟建造一条道路MN ，使MN 与该“隔离区”的边界相切，求四边形CDNM 面积的最大值．
答案第1页，共12页
参考答案：
1．A
【详解】由扇形的周长公式得22244C r l r r r =+=+==，
解得1r =，所以扇形的面积为211
12122
S r α=⋅⋅=⨯⨯=.
故选：A 2．B
【分析】由()
2a b - 求出9a b ⋅= ，利用向量的夹角公式，计算出1
cos ,2
a b = ，由此求得,a b
的夹角．
【详解】由于
6,3,==-= a b a b ，所以()
2
222362927-=-⋅+=-⋅+=
a b
a a
b b a b ，
所以9a b ⋅= .
所以91cos ,632
⋅===⨯⋅
a b a b a b ，
由于向量的夹角的取值范围是[]0,π，所以,a b 的夹角为3
π.
故选：B 3．A
【分析】先判断出
2x
为第二、四象限角，得到tan 02x <，利用三角公式，解方程即可求出tan 2
x .【详解】因为x 为第四象限角，即32,222x k k ππππ⎛⎫∈++
⎪⎝⎭，所以3,24x k k ππππ⎛⎫
∈++ ⎪⎝⎭
，所以2x
为第二、四象限角，所以tan 02x <.
因为2cos 3x =，所以2
2
2222cos sin 1tan 2222cos 3cos sin 1tan 2最佳位置 PO
22
x
x
x
x x x
x --=
==++，解得：tan 2x
=5
-.故选：A 4．D
【分析】利用正弦的二倍角公式可求解.
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