已知函数f(x)是定义在集合D 上的奇函数，则对任意的x ∈D，都有f(x)+f(-x)=0.特别地，若奇函数f(x)在D 上有最值，则f(x)max +f(x)min =0，且若0∈D，则f(0)=0. 例1 设函数22(1)sin ()1
x x
f x x ++=+的最大值为M，最小值为m，则M+m= .?
跟踪集训1.(1)已知函数2()ln(193)1f x x x =+-+，则1(lg 2)(lg )2
f f + =( )
海鲜蒸柜(2)对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中,a,b ∈R,c ∈Z)，选取a,b,c 的一组值计算f(1)和f(-1)，所得出的正确结果一定不可能是．．．．．．( )和6
和1
和4
和2
结论二 函数周期性问题
已知定义在R 上的函数f(x)，若对任意的x ∈R，总存在非零常数T，使得f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期函数,T 为其一个周期.
常见的与周期函数有关的结论如下:
(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=2a.
(2)如果f(x+a)=
1
()
f x (a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=2a. (3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=2a. (4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=6
a.
例2 已知定义在R 上的函数f(x)满足f 3()2
x + =-f(x)，且f(-2)=f(-1)=-1, f(0)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 014)+f(2 015)=( )
跟踪集训2.(1)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(8)+f(9)=( )
(2)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= 2log (1),0,
(1)(2),0,x x f x f x x -≤⎧⎨--->⎩
则f(2 014)=( )
结论三 函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R 上的函数.
(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立，则y=f(x)的图象关于直线x= 2
a b
+对称，特别地，若f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)的图象关于直线x=a 对称.
(2)若f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点(,)22
a b c
+中心对称.特别地，若f(a+x)+f(a-x)=2b 恒成立，则y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.
例3 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x)，且在[1,+∞)上是增函数，不等式f(ax+2)≤f(x -1)对任意的x ∈1[,1]2
恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.[-3,-1] B.[-2,0] C.[-5,-1] D.[-2,1]
跟踪集训3.(1)若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3，则f(-1)= .?
(2)函数y=f(x)对任意x ∈R 都有f(x+2)=f(-x)成立，且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4，则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为 . 结论四 反函数的图象与性质
若函数y=f(x)是定义在非空数集D 上的单调函数，则存在反函数y=f -1(x).特别地,y=a x 与y=log a x(a>0且a≠1)互为反函数，两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x 对称，即(x 0, f(x 0))与(f(x 0),x 0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f -1(x)的图象上.
例4 设点P 在曲线y=
12
e x
上，点Q 在曲线y=ln(2x)上，则|PQ|的最小值为( ) 2 B.
2(1-ln 2) +ln 2 D. 2
跟踪集训4.若x 1满足2x+2x =5,x 2满足2x+2log 2(x-1)=5，则x 1+x 2=( )
A.
5
2
C.
家用电器销售
72
结论五 两个对数、指数经典不等式
1.对数形式:1-
1
1
x +≤ln(x+1)≤x(x>-1)，当且仅当x=0时，等号成立. 2.指数形式:e x ≥x+1(x ∈R)，当且仅当x=0时，等号成立. 例5 设函数f(x)=1-e -x .证明：当x>-1时, f(x)≥
1宝石饰品
x x +.
跟踪集训5.(1)已知函数f(x)=
1
ln(1)x x
+-，则y=f(x)的图象大致为( )
(2)已知函数f(x)=e x ,x ∈R.证明：曲线y=f(x)与曲线y=12
x 2
+x+1有唯一公共点.
设平面上三点O,A,B 不共线，则平面上任意一点P 与A,B 共线的充要条件是存在实数λ与μ，使得OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r
,
且1λμ+=.特别地，当P 为线段AB 的中点时, 1122
OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r
.
例6 已知A,B,C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式2
0x OA xOB BC ++=u u u r u u u r u u u r r
成立的实数x 的取值
集合为( )A.{-1}
B. ∅
C.{0}
D.{0,-1}
跟踪集训6.在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD,AB=2CD,M 、N 分别为CD 、BC 的中点.若AB AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r
，则
活性炭面膜
λμ+= .
结论七 三角形“四心”的向量形式
设O 为△ABC 所在平面上一点，角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c，则
(1)O 为△ABC 的外心? ||||||2sin a
OA OB OC A
===
u u u r u u u r u u u r
.
(2)O 为△ABC 的重心? 0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r
.
(3)O 为△ABC 的垂心? OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
. (4)O 为△ABC 的内心? 0aOA bOB cOC ++=u u u r u u u r u u u r r
.
例7 已知A,B,C 是平面上不共线的三点，动点P 满足1[(1)(1)(12)],3
OP OA OB OC R λλλλ=-+-++∈u u u r u u u r u u u r u u u r
，则点P
的轨迹一定经过( ) A.△ABC 的内心 B.△ABC 的垂心 C.△ABC 的重心
边的中点
跟踪集训7.(1)P 是△ABC 所在平面内一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，则P 是△ABC 的( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
(2)O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足,(0,)2
OB OC OP AP λλ+=
+∈+∞u u u r u u u r u u u r u u u r
，则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
(3)O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(),[0,)||||
AB AC
OP OA AB AC λλ=++∈+∞u u u r u u u r超分散剂应用涂料工业
u u u r u u u r u u u
r u u u r ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 结论八 等差数列
1.若S m ,S 2m ,S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列.
2.若等差数列{a n }的项数为2m，公差为d，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则所有项之和S 2m =m(a m +a m+1),S 偶-S 奇=md,
1
m m S a S a +=奇偶. 3.若等差数列{a n }的项数为2m-1，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则所有项之和S 2m-1=(2m-1)a m ,S 奇
旋流板塔=ma m ,S 偶=(m-1)a m ,S 奇-S 偶=a m ,
1
S m S m =-奇偶. 例8 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3，则m=( )
(2)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m-1+a m+1- 2
m a =0,S 2m-1=38，则m 等于 .? 跟踪集训8.(1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10=20,S 20=50，则S 30= .?
(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d= . 结论九 等比数列
已知等比数列{a n }，其公比为q，前n 项和为S n .
(1)数列1{
}n a 也为等比数列，其公比为1q
. (2)若q=1，则S n =na 1，且{a n }同时为等差数列.
(3)若q≠1，则S n =
11111(1)()11111n n n n a a q a q a a a
q q q q q q q
λλλ--==-=-=-----. (4)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…仍为等比数列(q≠-1或q=-1且n 为奇数)，其公比为q n .
(5)S n ,
2n n S S , 32n
n
S S ,…仍为等比数列，公比为2n q . 例9 (1)已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3=S 6，则数列1
{
}n
a 的前5项和为( ) A.
158
或5 B.
3116
或5 C.
3116
D.
158
(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若
63S S =3，则96
S
S =( ) B.
7
3
C.
83
跟踪集训9.在等比数列{a n }中，公比为q，其前n 项和为S n .已知S 5=
3116,a 3= 1
4
，
则1234511111a a a a a +
1.长方体的体对角线长d 与共点三条棱长a,b,c 之间的关系为d 2=a 2+b 2+c 2；若长方体外接球的半径为R，则有(2R)2=a 2+b 2+c
2.
2.棱长为a 的正四面体内切球半径r=
，外接球半径R=
.
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