【两年真题重温】 【2020⋅新课标全国理，10】已知a r 与b r
均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：
1p ：2||
1[0,)3a b πθ+>⇔∈r r ； 2p ：2||1(,]3a b πθπ+>⇔∈r r ；
3p ：||1[0,)3a b πθ->⇔∈r r ； 4p ：||1(,]3a b πθπ->⇔∈r r ．
其中的真命题是( )
A ．1p ，4p
热熔铜螺母B ．1p ，3p寻星计算程序
C ．2p ，3p
D ．2p ，4p
hdpe成品排水沟
【答案】A土豆炮点火装置
【解析】本题考查向量的基本运算和性质． ()a b +r r ()0ka b ⋅-=r
r ，展开易得1k =．
【2020g 新课标全国文，2】a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于
（A ）865 （B ）865- （C ）1665 （D ）1665-
【答案】 C
【解析】本题考查向量的坐标运算和向量的夹角公式.因a ＝(4,3)，b ＝(x,y), 2a ＋b ＝(3,18)=(8+x,6+y)，解得x=-5,y=12.
cos<22221616=.513654+35+12
⨯（）
【命题意图猜想】
1. 2020年新课标高考理对向量的考查体现在求向量的夹角和模的运算，难度中等，文科则表现在向量的垂直关系的应用，较为简单；2020年理科没有涉及向量问题，而文科考查以 【最新考纲解读】
【回归课本整合】
1、平面向量的数量积： （1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作,OA a OB b ==u u u r r u u u r r
，AOB θ∠=
()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当
θ＝2π时，，垂直. （2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θr r
叫做与的数量积（或内积或点积），记作：•，即•＝cos a b θr r .
扣具
④平面向量数量积：1212a b x x y y •=+r r . ⑤向量的模：222222||,||a x y a a x y +==+r r r . 3、向量的运算律：（1）交换律：a b b a +=+r r r r ，()()a a λμλμ=r r ，a b b a •=•r r r r ；(2)结合律：()(),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+r r r r r r r r r r r r ，()()()
a b a b a b λλλ•=•=•r r r r r r ；（3）分配律：()(),a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+r r r r r r r ，()a b c a c b c +•=•+•r r r r r r r .提醒：（1）向量运算和
aa187实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即)()(•≠•，为什么？
4、向量平行(共线)的充要条件：//a b a b λ⇔=r r r r 22()(||||)a b a b ⇔⋅=r r r r 1212x y y x ⇔-＝0.如(13)设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===u u u r u u u r u u u r
，则k ＝_____时，A,B,C 共线. 5、向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=-r r r r r r r r
12120x x y y ⇔+=.特别地
()()AB AC AB AC AB AC AB AC +⊥-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .
||,||,AB c AC b ==u u u r u u u r 则有 ()bc AB AC AO a b c AB AC =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .AC AB 和Θ方向上的单位向量，设AC AB +=则有AP 平分BAC ∠，又，共线，所以OA 平分BAC ∠.同理可证BO
平分ABC ∠,CO 平分ACB ∠，从而O 是ABC ∆内心.
3. 向量平行和垂直的重要应用
向量平行和垂直的重要应用，是高考的热点.命题方向有两点：一是利用已知条件去判断垂直或平行；二是利用平行或垂直的条件去确定参数的值.需牢固掌握判断的充要条件. （1）向量平行(共线)的充要条件：//a b a b λ⇔=r r r r 22()(||||)a b a b ⇔⋅=r r r r 1212x y y x ⇔-＝0; （2）向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=-r r r r r r r r 12120x x y y ⇔+=.
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