高考数学精选题-计算题
计算题
1.
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)若a=3c,b=,cosB=,求c的值;
(2)若,求的值.
2.
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.
求证:(1)A1B1∥平面DEC1;
(2)BE⊥C1E.
3.
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:的焦点为F1(–1、0),
F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C于点E,连结DF1.
已知DF1=.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求点E的坐标.
4.
如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路PB、QA.规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD(C、D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米). (1)若道路PB弹簧绳与桥AB垂直,求道路PB的长;
(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;
(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米).求当d最小时,P、Q两
点间的距离.
5.(本小题满分16分)
设函数、为f(x)的导函数.
(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;
(2)若a≠b,b=c,且f(x)和的零点均在集合中,求f(x)的极小值;
(3)若,且f(x)的极大值为M,求证:M≤.
6.(本小满分16分)
定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.
(1)已知等比数列{an}满足:,求证:数列{an}为“M-数列”;
(2)已知数列{bn}满足:,其中Sn为数列{bn}的前n项和.
①求数列{bn}的通项公式;
②设m为正整数,若存在“M-数列”{cn},对任意正整数k,当k≤m时,都有成立,求m的最大值.
参考答案
1.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.满分14分. 解:(1)因为,
由余弦定理,得,即.
所以.
(2)因为,
由正弦定理,得,所以.
从而,即,故.
因为,所以,从而.
因此.
2.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.
证明:(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1短信通道,
所以A1B1∥ED.
又因为ED⊂平面DEC1,A1B1平面DEC1,
所以A1B1∥平面DEC1.
(2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BE⊥AC二阶低通滤波电路.
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以CC1⊥平面ABC.
又因为BE⊂平面ABC,所以CC1⊥BE.
因为C1C⊂平面A1ACC1,AC⊂平面A1ACC1,C1C∩车载厕所A外脚手架定型化钢板网C=C,
所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E⊂平面A1ACC1,所以BE⊥C1E.
3.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分.
解:(1)设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.
又因为DF1=,AF2⊥x轴,所以DF2=,
因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.
由b2=a2-c2,得b2=3.
因此,椭圆C的标准方程为.
(2)解法一:
由(1)知,椭圆C:,a=2,
因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1.
硅胶分条机将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16,解得y=±4.
因为点A在x轴上方,所以A(1,4).
又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.
由,得,
解得或.
将代入,得 ,
因此.又F2(1,0),所以直线BF2:.