旋转是几何三大变换之一，通过旋转，有利于把分散的几何条件集中在一起，然后运用旋转的“不变性”可以使一些问题迎刃而解.
一、求角度 分散线段集中化
例1如图2，P是等边△ABC内一点，叠片系数PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数。
分析：考虑到以3、4、5为边的三角形是直角三角形，故设法构造以3、4、5为三边的三角形，由于3、4、5三条线段较分散，能否把它们集中成为某个三角形的边是问题解决的关键。考虑到三角形ABC是等边三角形，利用旋转变换是最好的手段之一，以点B为旋转中心，将△BAP绕点B逆时针旋转60°，则由BA=BC，∠ABC=60°可知旋转后BA与BC重合，设点P落在点Q处，连结PQ，则由BP=BQ，∠PBQ=60°得△PBQ是等边三角形，所以PQ=PB=4，又机器人上下料QC=PA=3，PC=5，所以△PCQ是直角三角形，且∠PQC=90°，又∠PQB=60°，所以∠CQB=150°，而△QCB是△PAB旋转得到的，所以∠APB=∠CQB=150°。 例2如图3,已知P是等边△ABC内一点，∠APB=140°，∠APC=130°，求以PA、PB、PC为三边的三角形的各个内角的度数.
分析:求解的关键是构造以PA、PB、PC为三边的三角形,而构造的关键是对PA、PB、PC的位置进行变换,注意到BA=BC, ∠ABC=60°,故考虑将△BAP绕点B旋转60°,可得△BCQ,此时PA=QC,PB=QB,这相当于把PA、PB分别变换到QC、QB,易知△BPQ是等边三角形,从而QB=PQ,这样,以PA、PB、PC为边的三角形就是△PQC.在△PQC中, ∠PQC=∠BQC-60°=140°-60°=80°, ∠QPC=∠BPQ-60°=(360°-140°-130°)-60°=30°, ∠PCQ=180°-80°-30°=70°.
例3如图（4-1），在ΔABC中， ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求BPC的度数。
分析：在RtΔABC的外侧，作BC=ACP，且C=CP=2，连结P。
则ΔBC≌ΔACP。易证RtΔCP为等腰直角三角形，在ΔPB中，B=3，BP=1，P=2，由勾股定理的逆定理可知，ΔPB为RtΔ为RtΔ， PB=900
∴BPC=CP+PB=450+=1350
例4 (2006年青岛市)如图1，P是正三角形 ABC 内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB ，则点P与点P' 之间的距离为_______，∠APB＝______0．
例4如图2，P为正方形ABCD内一点，若PA=1，PB=2，PC=3，求：∠APB的度数；
二、探究数量关系
例1弹性夹头已知，如图CB=CA，∠BCA=90°，P、Q为斜边AB上任意两点，且∠PCQ=45°，请你探究AQ、BP、PQ之间的关系。
分析：AQ、BP、PQ三条线段在同一直线上，它们之间的关系不能直接看出来，借助于旋转把这三条线段转移到了△BPN中，从而使问题得解。
解：把线段CP、CQ绕点C逆时针旋转90°，连接BN则过M，
∵△MBC≌△QAC，△MNC≌△QPC
∴PQ=MN，BM=AQ，
∵△NCP为等腰直角三角形
∴NP=PC，∴△NPB为直角三角形
∴BP2＋BN2=PN2∴BP2＋（PQ＋AQ）2=2PC2
例2如图5，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠EBC交CD于F，说明：BE＝FC＋AE。
解析：如图6，将△BCF绕点B逆时针旋转900至△BAH的位置，则∠ABH＝∠CBF，CF＝AH，BF＝BH，又因为BF平分∠EBC，所以∠EBF＝∠FBC＝∠ABH，因为∠ABE＋∠EBF＋∠FBC＝900，所以∠ABH＋∠ABE＋∠EBF＝900，即2∠ABH＋∠ABE＝900，所以∠ABH＋∠ABE＝∠HBE＝900－∠ABH，又因为∠AHB＝900－∠ABH，所以∠AHB＝∠HBE，所以BE＝HE＝HA＋AE，所以BE＝FC＋AE。
说明：巧妙利用旋转，化分散为集中，可以使一些用常规方法不易解决的问题化难为易，化繁为简。
例 (2006年龙岩市)如图1，矩形ABCD的对角线AC和防漏杯盖BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝2，BC＝3 AB ，则图中阴影部分的面积为 ．
例 如图〔1〕分别以正方形ABCD的边AB、AD为直径画半圆，若正方形的边长为,求阴影部分的面积。
分析：进行局部旋转，化分散为集中，从而使不规则图形转化为规则图形。
解：连AC、BD如右图，则绕AD中点将图中②逆时针旋转到图中③，将图中①绕AB中点顺时针方向旋转到图中④，则原图中阴影部分的面积就和△DBC的面积相等，所以图中阴影部分的面积=S⊿橙子剥皮机DCB =S 正方形ABCD=。这里我们用旋转变换的方法改变了图中①和②的位置，从而顺利地完成了计算。
方法点评：此题通过扇形的旋转的把比较复杂的不规则图形转化成了简单的三角形问题，从而使问题得以顺利解决。
四、利用不变性解题
一、旋转面积不变
今有正方形的土地一块，要在这块土地上修筑两条笔直的道路，使道路把这块地分为面积相等的四部分。若道路的宽度忽略不计，请你设计三种不同的方案（在设计的图形中画出所设计的图形，并简要的说明画图步骤）。
二、运动形状不变
例2. 如图4所示，四边形ABCD是正方形，点E、F、G、H分别从A、B、C、D四点沿AB、BC、CD、DA向B、C、D、A运动，速度均为1cm/秒，正方形的边长为6cm。四边形EFGH是什么四边形？为什么？
三、旋转长度不变
(2006年锦州市)如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.
地球仪制作方法简单(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；
(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.
(1)猜想：AF=BD且AF⊥BD.……1分
证明：设AF与DC交点为G.
∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，
∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，
∴∠BCD=∠ACF.
∴△ACF≌△BCD.
∴AF=BD
∴∠AFC=∠BDC.
∵∠AFC+∠FGC=90°, ∠FGC=DGA，
∴∠BDC+∠DGA=90°.
∴AF⊥BD.……7分
∴AF=BD且AF⊥BD.
(2)结论：AF=BD且AF⊥BD.
图形不惟一，只要符合要求即可.如：
①CD边在△ABC的内部时； ②CF边在△ABC的内部时.
(2006年鄂尔多斯市)如图14（），两个不全等的等腰直角三角形和叠放在一起，并且有公共的直角顶点．
（1）将图14（）中的绕点顺时针旋转角，在图14（）中作出旋转后的（保留作图痕迹，不写作法，不证明）．
（2）在图14（）中，你发现线段，的数量关系是 ，直线，相交成 度角．
（3）将图14（）中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图14（），这时（2）中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由．若绕点继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．
(2006年梅州市)用两个全等的正方形和拼成一个矩形，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边的中点重合，且将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转．
（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形的两边相交于点时，如图甲，通过观察或测量与的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论．
（2）当直角三角尺的两直角边分别与的延长线，的延长线相交于点时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由．
(2004河北课改实验区)用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD、把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合。将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图①），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；
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