2021.05科学技术创新基于多自由度耦合运动方程的系泊系统倾斜角度模型 王帅
（长春光华学院基础教研部，
吉林长春130033）1二阶运动系统解耦条件
满足n 个自由度的二阶运动系统其运动方程可以表示为其中：M ———质量，C ———阻尼，K ———刚度，F ———外力。方程的通解为，其中常数和特征向量，
u 为其二次方程的特征值问题的解。
对于二阶多自由度运动系统，若
，即其为对称矩阵，则称这个运动系统为二阶自对称系统。
对于二阶自对称系统解耦的条件为，
并且满足下列条件之一即解耦。对于二阶自对称系统，若阻尼
矩阵C 正定，质量矩阵M 非奇异，并且为对称矩阵阵，则系统解耦。对于二阶自对称系统，
若质量矩阵M 为单位阵，并且刚度矩阵K 正定，那么且满足为实数
对称阵，则二阶多自由度运动系统解耦。对于二阶自对称系统当系数矩阵当M 为单位矩阵并且，其中Q 1是正
交矩阵，，Q 2满足的正交矩阵，则系统解耦。对角变换定理，
对于二阶自对称系统，若质量M 是非奇异矩阵，
则存在使；存在矩阵使得；令,
，并且K 正定，
故一定存在将使得K 1,M 1实现分解；若为对角矩阵，二阶多自由度运动系统
可实现完全解耦。若存在将同时实现为对角矩阵，
即则令，故有：
。即实现为对角矩阵，故云兄系统完全解耦并且
。
本文在谱分解定理的基础上，提出了可以使二阶自对称系统完全解耦的几个新的条件，
对质量系数矩阵M 为单位矩阵的二阶运动系统进行了研究，提出了系数矩阵C ，K 需要满足的解耦条件。
2海上系泊运动系统简述
海上水声通讯的系泊系统在海洋中做六个自由度的耦合运动，系泊系统中锚链的型号、长度以及重物球的质量都会影响浮标和钢桶的状态，进而影响浮具的稳定性，为了使系泊系统更好的发挥最大的作用，建立相关数学模型来确定不同情况下锚链的型号、长度以及重物球的质量。 从海域的各种状况出发，并将海水速度及风速等数据相结合，利用数学建模思想，解决当海水静止，海面风速为12m/s 和24m/s 时，对钢桶、各节钢管、锚链、 浮标的状态影响。可知，海床平坦且海水静止，此时对钢桶、
钢管、锚链、浮标的影响只有风力，其状态及受力如图1所示。图1传输节点示意图
根据受力分析情况，当海面风速分别为12m/s 和24m/s 时，浮标将产生漂移，当漂移一定距离时整个系统将处于平衡状态。
利用分段外推法和悬链线理论把锚链分成各个1m 的单元，然后在逐段外推，根据平衡公式得出钢管的平衡情况，接下来对浮台建立空间直角坐标系，可得出浮台的吃水深度和游动区域，最后对锚链进行进一步分析，根据时间的推移得出锚链最终的
基金项目：长春光华学院青年科研基金一般项目：(QNJJ2019021)。
作者简介：王帅(1985-)，男，满族，吉林长春人，长春光华学院副教授，
硕士，研究方向：系统分析与建模。摘要：水声通讯中钢桶的倾斜角度对水声通讯设备的工作效果有巨大影响，
并且其在海洋中做六自由度的耦合运动，本文利用分段外推法和悬链线理论把锚链分成各个单元，制作出锚链的划分单元图和每一个单元的受力图，
利用平衡公式得出每个节点的平衡方程，从而计算出倾斜角度。
关键词：二阶自对称系统；系泊运动系统；分段外推法；悬链线理论中图分类号:U661文献标识码:A 文章编号:2096-4390(2021)05-0037-02
()Mx
Cx Kx F t &&&()t x t e u 2()()0
Q u M C K u ()Mx Cx Kx F t &&&,,T T T M M C C K K 11
CM K KM C 1
T
T
k m Y X XY 1
21T Y Y 121T CK Q Q DQ 1122(,,,)t t D diag E E E L 2222
T
Q D Q D 1
,c X T c C X X 1,k Y T k K Y Y 11T
K X
KX 11T M X MX 1,m Z T c Z Z ,T Z Z 11,K M 11111,T T m K Z EZ M Z Z 11
00,00T L R T Z Z Z Z
111011
0T c m LR L LR R m Z Z A A
1101100LR L LR R m E B B
T
c Z Z 1001,L L L R R R
37--
科学技术创新2021.05
形状。
3倾斜角度的求解模型
利用分段外推法和悬链线理论把锚链分成各个1m 的单元，使单元所受的力与质量都简化，然后在逐段外推，从而得到不同情况下锚链，钢管、钢桶等发生的不同情况。
图2锚链划分单元图
图3单元受力分析图
利用力的平衡公式可确定每个节点的平衡方程：
，，
，根据题中可知，近海风载荷公式为：
，此时设风速为V，锚链单位长度质量为W ，单位链长设为S ，拉力设为T，由力的平衡方程可知。若将锚链的长度写出函数，
则：。利用弧微分公式而得到二阶微分方程为：
，化简得：则由上式可得锚链水平分量与锚链高度z 的关系，
可知：则钢桶和各节钢管的倾斜角度计算公式为
：（G 为重力）,4倾斜角度的求解
当海水静止时，此时各类已知条件如下：
表1系泊系统参数表
当海面风速为12m/s 时，此时根据分段外推法，把钢桶和各节钢管断开，分成一个个的单元并进行分析。
对于第一节钢管，设第一节的钢管的拉力为T 1，风速为
V 1=12m/s ，单位长度钢管的质量为W 1=10kg/m ，单位链长设为S 1，第一句钢管倾斜角度设为。
由力的平衡方程可知：,
，整理得：
则第一节钢管倾斜角度计算公式为：（G 为重力），整理得：所以第一节钢管的倾
斜角度。
同理可解：第二节钢管的倾斜角度；第四节钢管的倾斜角度；第三节钢管的倾斜角度；铁
桶钢桶的倾斜角度。
参考文献
[1]S D Garvey.Co -ordinate transformations for second order
system,part I:general transformation.[J].Journal of Sound and Vibration,2002,258:885-909.
[2]SDGarvey.Co-ordinate transformations for second order system,
part II:elementary structure-preserving transformations.[J].Journal of Sound and Vibration,2002,258:911-930.
[3]MTChu.Total decoupling of general quadratic pencils,Part I:Theory.[J].Journal of Sound and Vibration.2008,309:112-128.[4]M T Chu.Total decoupling of general quadratic pencils,Part II:Structure preserving isospectral flows.[J].Journal of Sound and Vibration,2008,309:112-128.
[5]聂孟喜，王旭升，王小明等.风、浪、流、联合作用下系统系泊力
的时域计算方法[J].清华大学学报,2004,44(9):1214-1217.[6]余建星，王永功，王宏伟.风浪流联合作用下单点系泊船的受力
分析[J].海洋技术
,2005,45(5):682-686.
1i i TX TX 1i i i TZ TZ p ds
1i T 1cos i i i x ds V x 1sin i i i y ds V y 2
0.625()F SV N 0sin ,cos T V WS T V T 1
2
0(2)T S z z W
dS
z &&00cosh()1W W
z x T T 1
1222
222(S Z )2x y W T T T z
1
cos G
T 1
arccos
G
T 系泊系统 主要参数表
锚链长度 22.05m 锚链质量 154.35kg
锚的质量 600kg 钢管直径 50mm 钢管重量 10kg 钢管长度
1m
1 11110sin ,cos T V W S T V T 12W W W 121
11
()sin W W T V S 1111
cos W g G T T 1
1arccos
mg T 11
1121
sin 4.arccos ()5W g V W W S 1 4.5 2 4.2 4 3.2 3
3.9 5 2.2 38--
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议