陈莉
【摘 要】为了更好的提取、增强图像边缘信息,提出了基于三阶差分运算的图像边缘检测算法,算法将三阶差分理论引入到边缘检测滤波器模板的设计中,通过三阶差分理论推导出滤波器模板系数,构造了水平、垂直、45°对角、135°对角4个方向的三阶差分滤波器模板,使用该模板与图像卷积运算实现图像边缘的提取和增强.实验结果表明,提出的三阶差分边缘检测算法对图像边缘和细节信息的增强效果优于传统一阶、二阶差分边缘检测算法.
【期刊名称】《陕西理工学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2015(031)001
【总页数】5页(P37-41)
【关键词】三阶差分;滤波器模板;图像边缘检测;熵
【作 者】陈莉
【作者单位】陕西理工学院物理与电信工程学院,陕西汉中723000
【正文语种】中 文
【中图分类】TP391.413
图像边缘检测是数字图像处理的重要内容，其目的是使边缘和轮廓模糊的图像更清晰，使细节更清楚。边缘检测可以突出边缘变化信息，平滑非边缘微小变化信息，在保留了图像边缘结构的同时，极大地减小了非边缘低频数据。由于图像边缘一般位于灰度跃变的区域，因此图像边缘可以用灰度差分提取出来。传统的边缘检测算法有基于一阶整数微分(一阶差分)的sobel、roberts、prewitt算法[1-3]和基于二阶整数微分(二阶差分)的Laplacian算法[4]等。本文从三阶差分理论出发，推导出图像三阶差分数学表达式，根据数学表达式设计了三阶差分滤波器模板，使用该模板实现图像边缘信息的提取和增强，与传统一阶、二阶整数阶微分(差分)算法相比，提取的细节和边缘信息更丰富，增强效果更好。
空间滤波器大小取为m×n，滤波器系数用w(s,t)表示，像素的系数依据位置记录，中心点的滤波器系数值记为w(0,0)，4×4滤波器如图1所示。
空间滤波的实现方法是利用空间滤波器与图像进行卷积运算；对大小为M×N的图像f(x,y)使用m×n滤波器实现图像滤波的计算公式为[5-6]：
其中a=(M-1)/2，b=(N-1)/2，w(s,t)是滤波器系数， f(x,y)是图像像素值。随着滤波器在图像f(x,y)中的移动，将计算出新的图像像素值。
根据偏微分理论在图像处理中的应用原理，在离散格式下图像微分可用差分近似实现[6-8]，如公式(2)所示：
由于对二维离散图像进行差分运算时，要确定运算方向，因此令△kα f(x,y)为图像f(x,y)在kα方向的一阶差分；其中α=45°，k=0,1,2,3；则(x,y)为图像f(x,y)在kα方向的三阶差分。
2.1.1 水平方向滤波器模板系数的推导
当k=0时，△kα f(x,y)=△0°f(x,y)，表示对图像进行水平方向的一阶差分运算，则图像水平方向的三阶差分运算推导过程如公式(3)所示：
由以上推导，得到滤波器模板的水平方向系数：
2.1.2 45°对角方向滤波器模板系数的推导
当k=1时，△kα f(x,y)=△45°f(x,y)，表示图像45°对角方向的一阶差分运算，则图像45°对角方向的三阶差分运算推导过程如公式(4)所示：
得到45°对角方向滤波器模板系数：
2.1.3 垂直方向滤波器模板系数的推导
当k=2时，△kα f(x,y)=△90°f(x,y)，表示图像垂直方向的一阶差分运算，则图像垂直方向的三阶差分运算推导过程如公式(5)所示：
得到垂直方向滤波器模板系数：
2.1.4 135°对角方向滤波器模板系数的推导
当k=3时，△kα f(x,y)=△135°f(x,y)，表示图像135°对角方向的一阶差分运算，则图像135°对角方向三阶差分运算推导过程如公式(6)所示：
得到135°对角方向滤波器模板系数为：
2.1.5 四方向滤波器模板系数的推导
图像f(x,y)的水平、垂直、45°对角、135°对角4个方向的三阶差分推导过程如公式(7)所示：
得到四方向滤波器模板系数为：
根据2.1节推导出的滤波器模板系数，构造三阶差分滤波器模板：水平方向滤波器模板如图2(a)所示；45°对角方向滤波器模板如图2(b)所示；垂直方向滤波器模板如图2(c)所示；135°对角方向滤波器模板如图2(d)所示；四方向滤波器模板如图2(e)所示。
根据空间滤波器的图像处理原理，待处理的图像像素点f(x,y)位于模板的正中心w(0,0)，根据公式(1)的运算，将设计的三阶四方向模板遍历整个图像后，可以得到边缘图像(x,y)：
其中wkα(s,t)表示kα方向滤波器模板。
3.1.1 cameraman.tif图像的边缘提取
对cameraman.tif图像采用一阶sobel、prewitt及二阶Laplacian算法实现边缘检测的实验结果如图3(b)、(c)、(d)所示，本文三阶差分算法的边缘检测的实验结果如图3(e)所示。可以
看出，图3(e)比图3(b)、(c)、(d)得到的纹理细节信息更丰富，且亮度更高，表明三阶差分算法比一阶、二阶差分算法的边缘检测效果好；图3(d)比图3(b)、(c)得到的细节信息更丰富，亮度更高，表明二阶差分算法比一阶差分算法边缘检测效果好。
3.1.2 katong.jpg图像的边缘提取
对彩katong.jpg图像采用一阶sobel、prewitt及二阶Laplacian算法实现边缘检测的实验结果如图4(b)、(c)、(d)所示，本文三阶差分算法的边缘检测的实验结果如图4(e)所示。
图像熵是一种特征的统计形式，它反映了图像中平均信息量的多少，图像熵值越大，说明所含信息量越大[9-11]，其计算公式为[12]：
式中P为图像直方图统计结果。
如表1、表2所列图像熵值所示，本文算法提取的边缘图像熵值大于传统一阶差分算法和二阶差分算法提取的边缘图像熵值。说明本文算法进行边缘检测后得到的边缘图像细节信息和边缘信息的信息量更大，边缘纹理信息更丰富。
根据差分理论，推导出三阶差分滤波器模板系数，构造出水平、垂直、45°对角方向、135°对角方向的三阶差分滤波器模板，该模板可以实现图像的边缘检测，检测效果优于一阶、二阶差分算法，可用于边缘灰度信息变化规律复杂图像的边缘检测。
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