第47卷第2期
2021年4月Vol.47 No.2Apr. 2021曲阜师范大学学报Journal of Qufu Normal University DOI ： 10.3969/j.issn.1 0015337.2()21.2.044
基尔霍夫型方程的无穷多解
张琪，栾世霞
(曲阜师范大学数学科学学院,73165 ，山东省曲阜市)
摘要：研究了全空间上一类基尔霍夫问题的无穷多解，通过山路结构和临界点理论，得到了(PS)序列. 再利用Bartsch 的喷泉定理，得到了方程的多重解. 关键词：基尔霍夫型问题；喷泉定理；变分方法
中图分类号:O175.8 文献标识码:A 文章编号：0015337(2021)02004405
0引言
本文主要研究下述基尔霍夫型方程
—(+" V u 2 X ) △ u +V (x)u =f(x,u ),x € R N , (1 )
J R N a 为常数且 a >0，是一个参数，f € C(R N X R, R),F(x,u ) = ［"f (x ,s)ds,s € R N .
J 0
过去几十年间，问题(1)是一个重要的非局部拟线性问题.因为当f 满足不同的条件就会得到不同的 结果，所以这类基尔霍夫问题及其结果已经得到了广泛的研究.例如，文献［4］在f 满足超线性的条件下，通 过变分方法和扰动方法得到了基尔霍夫问题的无穷多解.文献［3］在f 满足渐近线性的条件下，利用极大 极小方法和莫斯理论，得到了共振和非共振条件下基尔霍夫型方程的3个非平凡解的存在性.文献［8］提 出当f 满足适当的控制增长条件，通过最小化的讨论，得到基尔霍夫型方程的最小能量变号解.另外，当f 满足奇性条件，利用定量形变引理，得到基尔霍夫型方程的无穷多非平凡弱解. 当V(x )=0,A 为正常数，R N 被一个有界区域Q 取代时，问题(1)就简化为下述问题
— (a +b J Q V u 2d x )
=f (x ,u ) .基尔霍夫在文献［］中首次提出此方程.准确来说，与拟线性基尔霍夫方程
u t — (a +b )| V u |2 X ) = f (x , u )J Q
密切相关，是自由振动弹性绳的经典达朗贝尔波方程的扩展.自此方程提出后，方程()备受关注，早期的研 究成果见文献［57］.事实上，在各种物理和生物模型的研究中，基尔霍夫问题也受到越来越多的关注［81214］.
文献［5］通过下降流不变集的方法在R 3中得到无穷多变号解.文献［6］利用喷泉定理，在AR 条件 下，即3 u >4 ,R >0，使得I u I A R 时0<“F (x ,u )C uf (x ,u )得到了无穷多高能量解.利用变分方法， JinJ 和Xu X ［i7］研究了当V (x )=1时在有界区域的基尔霍夫方程的无穷多径向解.受上述研究启发，在全空间上，我们给VX )增加一些条件，证明了无穷多解的存在性.
在主要结果证明前，我们假设V(x),f(x,u )满足以下条件：
(V i ) V(x )€C (R N ,R ),V(x )三 V (|x |)>V 0= inf V(x )>0,x € R N
x € R N
收稿日期:2020-10-12
作者简介：张琪，女,996-硕士研究生；研究方向：基础数学:E-mail ： *****************；
通信作者：栾世霞，女,1972-，博士，教授；研究方向：非线性泛函分析;E-mail ： *************** .
第2期张琪，等：基尔霍夫型方程的无穷多解45
(F i)存在4<p<2*,f(x,)|Cc(t+t p I)其中2
+*
,N=1,2.
(F2)lim fX，)=0x€R N.
，当11|f+*.
(F3)G()=4f()—F()>0，且G()f*
(F J存在常数R>0，满足lim F(x,)>0.
(F5)f(x,—1)=—f(xt),€R x€R N.
利用喷泉定理来求泛函的解，需验证(PS)条件成立.首先，由于在全空间H4(R n)上，很难验证(PS)序列的有界性，其次，由于非局部项［V u|2X的影响，得到一个有界的(PS)序列时，对于［V u”|2X f
R N R N
V u|2X极限的成立仍面临着困难.为了解决这些困难，我们使用径向对称的索伯列夫空间H；(R N)H4 (R N)为H4(R n)的子空间.于是，定义泛函I a u L H—CR N)-R
V u2d x+V(x)u2X+F(x,u)d x.
由(F i)知,a€C4，且I的临界点为问题(1)的弱解.设X=H l(R N丿则X T L q(RN)为紧嵌入q€(2, 2*).见文献[2，推论1.26]
1预备知识和主要结果
-I p定义了L p空间中的范数，u|=([u|s X)；，C s C*.
J R N
X=H；(R N)定义了径向函数索伯列夫空间.设X=㊉X,,dim X j<*,'€N.令=@X,,
j€R N j=0
Z k=®X j，其中,X”,Xm〉=1若n=m；〈X”，X m〉=0若
j=k
B k={u€Y k:I u I
C p}N k= {u€Z k：I u I=r k}，且p>r>0.
(a V u Vu+V(xCuv)drr(a V u|2+VX)u2)X)记为I u I.
C定义了不同的正常数.
定理1.假设(V i),F i)—(F5)成立，则存在A*>0，当A€(0,*)时，问题(1)有无穷解u，使得当k f*时，I a(u)f+*.
2引理及主要结果的证明
因为I a€C1，所以，对任意v€X有
〈I a'(u),v〉=(a V u Vu+V Ouv)X+入|V u|2X V u VuX―f(x,)u X.(4) J R N J R N J R N J R N
我们先介绍一下喷泉定理.
引理212］假设泛函卩€C4(X,R)满足卩(一u)=9(u)，对于几乎处处的k€存在p k>r>0，使得
(i)a k=max卩(u)C()；
u€Yk•u=Pk
(ii)b k=inf卩(u)f+*，当k
u€Zk■u=r
46曲阜师范大学学报(自然科学版)
2021 年
(iii )对任意的c >0，满足(PS)条件；则卩有一个无界的临界值序列卩(u ) — + x ,—x.
证明 定义 c k = inf max *(y (u )) Y k =(7 € C (k X ) ： b k =i d }.由(i )和(ii )知，存在 k € N ,
u€bk
+ \ 1f (x ,k)u k —F(x ’uk )〕d x J RN I 4 丿反证，假设｛u ｝在X 中无界，即当k —x 时,I u I —+ x.由不等式()及条件(F 1 )，若｛u ｝无界，贝」(7)式矛盾，所以｛u k ｝在X 中有界.
引理2.5若｛u k ｝在X 中有界，且当k —x 时I , (u )—0，贝」｛u ｝在X 中有一个收敛的子列，为书
写方便，仍记为｛u ｝ •
证明 因为｛u ｝在X 中有界，且索不列夫嵌入H 1(R N )T L p (R N )(p €[,*)为紧嵌入[3].于是, 可以假设子序列｛u k U X ，使得
当 k >K 时,k >0，即 b k >a k .于是，存在{u ”}U X ，满足 c »—2e ”C *(u ”)C c » +2” I *'(u ”)|c ¥”，当 n —x 时，有 * u ”)—0 ,*(u ”)—5 .又因为 * € C 1( X , R )，所以，*(u ”)—* (u )*‘(u ”)—* (u ).由极限唯 一性知(u)=Ck *' (u )=0.即C 为泛函*的临界点，由c 的定义知c k $b k .
引理2.2假设条件(V 1),F 1) —(F 3)成立，则
(a )存在 p >0,a >0，使得 I , (u ) $a >0,u € X 且 I u I =p .
(b )存在 e €X ,| e I >p ,*>0，当 0<A <A * 时,,()<().
证明 a )由条件(F 1)和 F )知，对任意的£>0有C >0使得
c- r F(x,u ) C — u |2 +----- u p 2p (5)
由索不列夫嵌入不等式，有
I a (u ) =1
(a 2J R N I u I 22V u |2 + V(x ) u 2) x +I u I 2 —c 2I u I p ,
V u 2d x )F (x ,)x $R N
c r —歹 u 12 — ； u p $ I 乡2 p | 2所以，由上式知，当I u I =p >0 ，充分小时，有I a (u )$a >0 ，即()成立.
(b )取 e €X ，满足 I )(e)<0 且 e €B p (0)则对于 0 < A <—2I 0(e )
V e 2d x )=A ，有
I A (e ) =I 0(e ) + V e 2d x )R N
因此，存在e €X J| e I >p 且I , ()<0其中0<A <A *，于是(b )成立.
引理233]设E 为巴拿赫空间E *为E 的对偶空间.*€C (E , R)存在a <0p >0u 1 €E 且I u 1 I >p ，满足条件 max{ * (0) , * (u ”)}C a <0C if * (u ).设 c $0 , = inf max * (y ())其中 A = {Y € C
u =p Y €A0C t C 1
(0,1],E )：Y (0) = 0,Y (1)=u 1}是连接0和u 之间的连续路径的集合.则存在{u ”}U E ，使得
I (u j ) — C $0,I ‘(u )— 0, — x .
由引理2.2和引理2.3，可知，存在一个(PS)序列{k U X ，满足
I a (u )— c > 0 , I'(u ) — 0 , — x
(6)引理2.4假设条件(V 1)和(F 3)成立，则(PS)序列｛u ｝在X 中有界. 证明由(6)式得,
c + 1 + I u ” I $ I A (u) — 1〈I'(u )，u 〉=
(a V u |2 + V(x ) u ) x + |
| —f (x ,u )u — F(x,u ) x =J RN I 4 丿 *I u I 2
4
(7)
第 2 期张琪，等：基尔霍夫型方程的无穷多解
47
u *亠u ，在X ,u f u 在L p n N >b p e ［,*/)
u f u 几乎处处在读N
接下来证明｛u ｝有强收敛子列
<)'(k) 一 I A ’(u )— u > =
(a V w * V(u * ― u J + V(x)u (u * ― u ) J c X +入 | V u * |2 c X N u * V(u * ― u J c X ―J N J J N J J N
f (x ,u k )(u k —u )d x — [
(a V u V U * —u ) +V (x )u (u ，一 u ))x + A V u |2 x J N J N J J N
Vu V(u.k —u )d x — f (x ,u )(u k —u )d x ] =
J N J J N I u * — u I 2+A V u * |2d x v ”k V (u —u )d x —A V u |2 X
V u V ( u * 一 u J c X +J N J N J N J J N J N V u |2d x V u V U k —u )d x —A N V u * |2 X V u V (u * —u )d x —
J N N J N J J N k J J N J N (f (x ,u )—f (x ,u ))(u k u )d x =
I U * — u I 2+A V u |2d x f v u * —
u ) 2d x +A V u V (u * —-u J d x ( V u * |2 ―
J N J N J N J N J J N V u |2)X — (f (x u k J 一 f(x u ) U k 一 u ) X .
(8)J 臥N 显然，当n f x 时，等式左边和等式右边的中间两项趋于0.另外，由文献［2］的定理A.2，可以得到
f(x,u ”)f f(x,u )，在丄“读“)中 \ q = p
\ p — 1
由Holder 不等式可知
f U k > — f (x u > J U * — u J c X W f(x,u *)—f(x,u ) q \ u * 一 u \ p f 0.
J J N 当” fx 时，其中--------= 1.因此，由(8)式可得到当”fx 时，I u k —u I f()，所以在X 中｛u k ｝有强收qp
敛子列U f U .
定理11的证明 由引理2.2，引理2.3，引理2.4可以得到有界的(PS)序列.由引理2.5，可知道IU) 满足引理2.1的条件(iii).另外，由条件(F 5)知,)满足I a (—u )= I a (u ).下面证明I a (”)满足引理2.1中 的条件(i >和(ii > .
首先验证(i )有条件(F 1Jb F 3)b F .1J 知，存在常数c >0,e N ，使得
F (X , U J 上 c 3 u 4 一 c 4 u |2.
则 I )(u J = 11 (a V u |2 + V (x J u 2) X + A (| V u |2X ) ― I F (x , u ) X W
2J j n 4J j n / J j n 2 I u I 2 +4 V u 4 — c 3 \ U | + c 4 U 2
因为在有限维空间Y *中范数等价，所以，当I u I =p ，充分大时b i )满足.
其次验证(ii )由条件(F 1)，得
|F(x,u ) W ° u |2 +
|u p .2p 定义= sup
U p .u e Zk ■ u = 1由文献[2]知，当k fx,0*f ().所以，在空间乙中，由(9),(1))式及索不列夫嵌入不等式，得
IA (”> = 1 I U I 2 + A ([ V u |2x ) ― [ F (X , u (X 上2 4\J j n / J j n
(9)(10)
48曲阜师范大学学报（自然科学版）2021 年
取
— I u I 2_2I u I 2-加 I u I p .
(11)
■ （1 一 2c5）p ] p — r ~_因为p >2，所以当k f *,k f + *.将（12）式代入（11）式，得
(12)
I" (u ) A 1(1 _ 2")p
4c 號
当k f *，所以，条件（ii ）成立.综上，定理1.得证.
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