‘中国控制会议论文集＇２４８—２５１２００１年ｅ月１０－１２日，辽宁大连 １．引言
张凌波吴敏余中
（中南大学信息科学与工程学院．湖南．长沙．４１∞８３）
Ｂｍｄ：ｚｈａｎｇ＠∞ａ．髂ｕＬ甜ＩＬｃ“ｍｍ＠ｍａｆｉ．ｃｓｕ．ｃｄｕ．ｃｎ，ｘｉａｏｍｉ＿ｙｕｔｏｕ０２６３．ｎｄ
■蔓：本文讨论了一共广义非线性系统的鲁棒性分析问题．基于非线性矩阵不等式获得了系统具有鲁捧干扰抑制性能的充分条件，避免了非线性矩阵求逆和求解Ｈ蛆司吣ｎ＿Ｊａ∞Ｍ不等式的计算困难． 关ｔ词ｔ广义非线性系境，鲁棒性分析，鲁棒干扰抑制，非拽性矩阵不等式．
Ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓａｎａｌｙｓｉｓｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒｓｙｓｔｅｍｓ
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Ａｂ醴ｒ叠ｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒ出北ｕｓｓ∞Ｉｏｈ蛐叫ｓｓ锄ａｌｙｓｌ‘ｆｏｒ１ｄａ鹞ｏｆｎｍｌｍｅａｒｄｅｓｃ矗ｉｘｏｒｓｙｓｔｅｎ丝．Ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｒｅｅｂｔａｔｎｅｄｔｎ目ｘｌｏｎｌｌｏｏ］ｊｎｅａｒｍａｔｒｉｘｉｎｅｑｅａｌｉｔｉ∞ｔｏｖｅｒｉｆｙｔｈａｔｔｌＩｅｓｙｓｔｅｍｓｍ删ｍｂｕｓｔｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅａｔ＇ｔｃ３ｍａ曲ｏｎｐｅ曲加瑚ｎｃｃ．Ｉｎｔｈｅｃｏｏｃｌｕｓｉｏｎｓ，ｔｈｃｃｏｎｑ岫ａｌｄＪｆｆｉｃｕｋｉｅｓｔｏ∞ｎＶｅ嗽ｎｏｎｌｉｎｅａ＂ｍｍｎｘａｎｄｓｏｌｖｅＨａｍｉｌｔｏｎ·Ｊａｃｏｂｉ妯ｄＩｍ埘ｃＩ．ａｍａｖｏｉｄｅｄ·
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近年来，广义系统（ｄｅｓｃｒｉｌｘｏｒｓｙｓｔｅｍ）的控制受到了广泛的关注【１＿Ｍ．与控制系统的一般状态空间描述相比较，广义状态空间描述可以体现动力学方程的等式约束条件．而对于
广义非线性系统，由于非线性计算的原因，广义状态空间描述形式向一般状态空间形式的转化存在着一定的困难，而且并不总是可行的．因此，目前广义系统的研究己成为控制研究的一个重要课题．
鲁棒控制是控制理论研究的一个重要领域。目前．广义系统的鲁棒控制研究主要集中于广义线性系统的鲁棒控制问艨卜Ｉｏ】。对于系统广义状态空间描述的等式左螭不具不确定性的情形．基于线性矩阵不等式（ＬＭＩ）有效地解决了广义线性系统的岛控制和Ｈ控制问题¨１．研究结果显示鲁棒控制问题可以等价于一组线性矩阵等式和ＬＭＩ的求解问题．对于广义状态空问描述的等式
”曩童自蒜科学基盒与博士直基盘童助项目左端具有不确定性的情形，研究表明在不确定性不改变矩阵的秩的情况下，广义线性系统的鲁棒镀定控制嚣设计可以归结为一个代数Ｒｉｃｃａｔｉ方程的求解问曩阻Ｉ口Ｊ．现在这一方面的研究还有特于进一步深入．
本文针对一类广义非线性系统，讨论了这类系统的鲁棒性分析问题。基于非线性矩阵不等式（ＮＬＭＩ）获得了系统具有鲁棒干扰抑制性能的充分条件．目前的非线性Ｅｆ－控制研究．从岛增益出发．已经获得了大量的结论．并将鲁棒控制问题成功的转化成基于Ｈａｍｉｌｔｏｎ．Ｊａｃｏｂｉ不等式的求解问题１１１－１８｜。然而，Ｈａｍｉｌｔｏｎ．Ｊａｃｏｂｉ不等式的求解是至今仍未解决的难题。随着ＬＭＩ在鲁棒控制研究的普董应用，ＮＩＪⅢ在非线性儿控制中也受到了关注Ｉ’ｍ】。与Ｈａｍｉｈｏｎ－Ｊｓｃｏｂｉ不等式相比，Ｎ咖具有凸可行的良好计算特性，为有效解决
目前非线性｝，啦制中的计算问题提供了一种可能
途径。本文所得结论的优点体现在两个方面：其一是避免了广义非线性系统向一般状态空间转化的非线性求逆计算｛其二．系统具有鲁棒性的判据是以Ｎ】伽的形式描述。
２．问题描述
考虑～类不确定广义非线性系统
Ｅ（∞ｊ＝，（神＋ｇ（ｘ）ｗ（１ａ）ｙ＝瞰Ｊ）（１ｂ）其中．ＪＥＸｃＲ４，ｗ∈Ｒ‘。ＺＥＲ‘分别表示系统的状态，干扰输入和控制输出。Ｅ（ｘ）．，（对．８（ｘ）和Ｍｚ）均为具有相应维数的矩阵函数。而为系统的初始状态，且以上函数在初始状态均为０。
对上述系统做以下假设：
（１）Ｅ（Ｊ）是ｎ阶满秩方阵．即
ｒａｎｋ（Ｅ（ｘ））＝＾：
（２）自由系统Ｆ（蛳＝，（曲是零状态可观测的．
关于零状态可观测的假设（２）是为了保证系统的内部稳定性．零状态可观测有下面的定义””．定义１如果非线性系统的干扰输入州ｆ）§０，控制输出ｚ（ｆ）ｉｏ．那么有缸ｆ）５‰，则称系统是零状态可观测的．
下面给出本文所讨论的非线性系统具有鲁棒干扰抑制性能的定义。
定义２如果非线性系统（１）内部稳定，并且从干扰输入ｗ到控制输出ｚ的‘增益小于一个给定的正常数ｒ，即
ｆ８。Ｅ出ｓ，，２ｒｌ哪≯，
其中Ｔ≥０．那么称这个非线性系统具有鲁棒干扰抑制性能．
在本文中，为了叙述的方便，不失一般性地取ｙ＝１。
３．也性能分析
考虑非线性系统
￡＜帕ｊ＝＾（ｘ）ｘ＋Ｂ（ｘ）ｗ（３ａ），＝Ｃ（ｘ）ｘ（３ｂ）假设系统（３）满足条件：
（３）自由系统Ｆ（．枷＝Ａ（ｘ）ｘ是零状态可观测的。
在非线性系统的也控制研究中，已经获得的以下结论是本文工作的基础。文【１１］针对光滑的非线性系统
ｉ＝，（曲＋ｇ（曲Ｗ（４ａ）
：＝ｈ（ｘ）（４ｂ）获得了以下结论．
引理１假设非线性系统（４）是零状态可观测的。如果存在光滑的非负定标量函数Ｖ（ｘ）．满足Ｈａｍｉｌｔｏｎ－Ｊａｃｏｂｉ不等式
ｕ，（ｚ）＋妄ｕｇ（对ｇ（对７哆
‘
＇
＋妄＾ｏ）＾７（，）＜－０一ｙ（‰）＝０（５）
Ｚ
那么它具有鲁棒干扰抑制性能．其中，。
ａＶ（ｘ）
ｋ２１Ｆ。
关于矩阵不等式，具有以下的重要性质。
引理２（Ｓｃｈｕｒ补定理）
假设＾ｆ＝Ｍ７∈Ｒ‘４＋忡ｑ”“’被分割成
盯＝醐
其中ＣＥ月”“是非奇异矩阵，则Ｍ＞０’当且仅当Ａ—ＢＣ—ｌＢｒ≥０．
从以上两个引理出发，可以得到以下结论．
定理１对于非线性系统．如果在Ｘ上存在正定矩阵Ｐ＞０，满足非线性矩阵不等式
ＡｐＴ∥＋ＥＰＡＴＢＥＰ，
Ｂｒ一１０
ＣＰ７Ｅｒ０一，
＜Ｏ
则系统具有鲁棒干扰抑制性能。
证明：根据假设务件（１），可以通过矩阵的求逆计算．将广义非线性系统（３）转换成以下的一般状态空间形式，
ｊ｝＝Ｅ一‘（对－ｔ“）工＋Ｅ一‘（对０（曲ｗ
Ｙ＝Ｃ（ｘ）ｘ
由引理１可知，系统（３）具有鲁棒干扰抑制性能的充分条件是存在光滑的非负定标量函数Ｖ（ｘ），
涌足Ｈａｍｉｌｔｏｎ－Ｊａｃｏｂｉ不等式
匕＾（，）ｘ＋昙屹丑（ｚ）Ｂ（Ｊ）７嵋
＋去ｘ７ｃ７（柚ｃ（小＜ｏ（７）
利用Ｓｃｈｕｒ补定理，由式（６）可得
ＡＰｒＥｒ＋ＥＰＡｒ＋Ｂ７Ｂ＋ＥＰＣ７ＣｐｒＥｒ＜０
则
Ｐ一１Ｅ一１Ａ＋Ａ７（Ｅ一１）７Ｐ一１
＋Ｐ’１Ｅ一。Ｂ７Ｂ（Ｅ一１１７Ｐ一。＋Ｃ７Ｃ（０
于是有
ｚ７【Ｐ一１Ｅ１１Ａ＋Ａ７（Ｅ一‘）７Ｐ一１
＋Ｐ一。Ｅ一１ＢｔＢ（Ｅ一‘）ｒＰ一１＋ＣｒＣｈ＜０（８）令ｙ（曲＝妄，Ｐ－１ｘ一则有
ｕＡ（∞ｘ＋；匕取ｚ）口（ｚ）７嵋＋｛ｘ７ｃ７（神ｃ（砷ｚ
＝：１ｘｒ（ｐ－ｔＥ－ＩＡ＋Ａ７（Ｐ＿１￡．１）ｒ
＋ｐ－ｉＥ一。ＢＢ７（Ｅ一１）７＋Ｃ７Ｃ）ｘ（９）
由（８）和（９）式可知故（７）式成立。因此定理得证。
注１：与引理１相比较，定理ｌ中的鲁棒性判据以一个ＮＩＪ叮的形式描述，从而避免了求解Ｈａｍｉｌｔｏｎ．Ｊａｅｏｂｉ不等式的计算困难．
４．鲁棒Ｈ。性能分析
在非线性鲁棒控制中，针对具有参数不确定性的非线性系统的Ｈ。控制问题通常被称为鲁棒Ｈ。控制问题．
考虑具有参数不确定性的广义非线性系统
Ｅ（砷ｊ＝＾（神ｚ＋△Ａ（柚＋Ｂ（ｘ）ｗ（１０ａ）ｙ＝Ｃ“ｈ（１０ｂ）即，Ｃ而＝＾（砷ｚ＋△Ａ（ｚ）的情形。假设系统（１０）满足假设条件（１）以及以下的假设条件：
（４）以ｎ表示不确定性△Ａ（柚的集合。对任意州曲∈Ｑ，自由系统耳Ｊ）ｊ＝Ａ（ｘ）ｘ＋△Ａ∽是零状态可观测的．
（５）△Ａ（曲＝￡（ＪⅫ（，），其中ｄｊ）∈冠－＂，８（ｘ）∈Ｒ“分别是已知和未知的光滑函数，且占（ｚ）满足忪（ｚ）｜｜ｓｑ（曲删·口ｏ）为非负函数；
（６）设Ｇ是具有相应维数的光滑矩阵函数，有
衄（Ｊ）柚一１∽≤ＧＧ７．（１１）
在文献Ｉｔ４］中．对于非线性系统
主＝，（对＋Ａｒ（工）＋【ｇ（ｘ）＋衄（耐】ｗ（１２ａ）
ｚ＝ｈ（ｘ）（１２ｂ）有以下结论。
引理３如果对于非线性系统（１２），自由系统ｊ＝／（ｘ）＋Ｖ（ｚ）是零状态可观测的，Ⅳ“）满足满足的假设条件（７）：
（７）Ⅳ（工）＝“善）占（ｘ），其中ｃ（ｚ）∈Ｒ麒９，占（砷∈Ｒ州分别是已知和未知的光滑函数．且
烈Ｊ）满足愀ｚ瑁ｓｆ（ｚ），ｊ（对为非负函数，
则系统（１２）具有鲁棒干扰抑制性能充分条件是存在光滑的非负标量函数Ｖ（ｘ），Ｖ（ｘｏ）＝０．以及恒大于０的标量函数＾（ｚ），使得以下ＨｍｌｌｌｌｔｏｎｏＪａｅｏｂｉ不等式成立．
１一一一Ｕ，（∞＋÷吒【“（ｘ）ｅ１（ｘ）＋暑（ｚ）譬。（砷】昨
Ｚ
＋÷÷ｚ２（Ｊ）＋去＾７（曲＾（ｚ）ｓｏ（１３）
‘＾‘
定理２对于满足假设条件（１），（４）和（６）的广义非线性系统．如果存在正定矩阵Ｐ＞０，使得以下非线性矩阵不等式成立，
＾ＰｒＦｒ＋ＥＰＡｒ
Ｂｒ
ＣｐｒＥ７
ｑ（ｘ）Ｐ７Ｅ７
ｆ‘（曲
ＢＥＰＣ７
一，０
０一，
００
００
ｑ（ｘ）ＥＰ出）
００
００
一｛，ｏ
Ｏ一＾
《０
（１４）那么系统具有鲁棒干扰抑制性能．
证明：根据假设条件（１）．可以通过矩阵的求逆．将广义非线性系统（１０）转换成以下的一般状态空间形式。
主＝Ｅ一‘（ｚ）【Ａ（曲ｚ＋Ａａ（ｘ）ｌ＋Ｅ一１（Ｊ）Ｂ（．订ｗ
ｙ＝Ｃ０ｈ
由引理３可知，系统（１０）具有鲁捧干扰抑制性
能的充分条件是存在光滑的非负定标量函数
ｙ（ｘ），满足Ｈａｍｉｌｔｏｎ－Ｊａｃｏｂｉ不等式
Ｖ，Ｅ一【＾（工）工＋△Ａ（工）】＋妻也Ｅ一１Ｂ（柚
‘
·Ｂ７（对（Ｅ－１）７叮＋妻，Ｃ７（柚ｃ（神ｚ＜０（１５）
‘
令矿（神＝：１，Ｐ—ｚ，利用Ｓｃｈｕｒ补定理．类似于
‘
定理１的证明可得（１５）与（１４）式等价。因此，定理
得证。
注２：在实际情形中，自由系统通常不具有
尉ｘ）ｉ＝Ａ（ｘ）ｘ的形式，但可以近似地描述成
Ｅ（ｘ）ｉ＝Ａ０ｈ＋△Ａ（ｘ】．因此．定理２适用范围
更广，但（１４）式的计算比（６）更为困难．
５．结束语
本文针对一类广义非线性系统．讨论了这类
系统的鲁棒性分析问题．基于ＮＬＭＩ获得了系统
具有鲁棒干扰抑制性能的充分条件．本文的结论
避免了广义非线性系统向一般状态空间形式转换
时的非线性矩阵求逆计算．咀及Ｈａｍｉｌｔｏｎ－Ｊａｃｏｂｉ
不等式的求解匪难。与Ｈａｍｉｌｔｏｎ－Ｉａｅｏｂｉ不等式相比．ＮＬＭＩ具有凸可行这一良好的计算特性，为
非线性鲁棒控制理论的实际应用提供了可能．
在本文中仅仅讨论了系统的鲁棒性分析问
题，系统的鲁棒综合问题有待于进一步的研究．
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【ｌｏ】Ｌ血ＣＷａｎｇＪｋＹａｎｇＧＨ．Ｉ．ａｍＪ．Ｒｏｂｕｓｔｇａｂｉｌｉｚａｆｉｏｕ
ｖｉａｓｔａｌｅｆｅｅｄｂａｃｋｆｏｒｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈｕＤｃａｍⅡ日ｔｉｅｓｉｎｔｈｅｄｅｔＳｖａｔｉｖｅ．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｎｔｒｏｌ，２０００．７３（５）：４０７．．．４１５
【Ｉｌｌ＇ｖａｎ脚Ｓｃｌ圳ｔＡＪ．Ｌｊ－ｇＩｔｌｎ∞蛐ｏｆｎｏｎｌｉｎｅｍ＂ｓｙｓｔｅｍｓ
ａｎｄｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｔａｌｔｆｅｅｄｂａｃｋｔｔ．ｏｏｍｒ０１．聒髓Ｔｒａｎｓ．Ａｕｔｏ．Ｃ＿吣１９９２，Ｖｏｔ．３７，Ｎｏ．６．ｐＰ－７７０－７８４．
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【１４】Ｓｈｅｎ王ＴａｍｕｒａｋＲｏｂｖａｔ／／．ｃｏｕｔｒｄｏｆｕｎｅｃｍｉｎｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｖｉａｓｔａｔｅ话刮曲簟ｋ珏＇ＥＥ乃讥Ａｕｔｏ，Ｃｏｎｔｒ０１．１９９５．Ｖ０１．４０．Ｎｏ．４，ｐＰ－７６６－７６８
【１５１ＮｇｔｕｍｇＳｋＲｏｂｕｓｔＮＯｌｌｌＪｌｌｅａｆｆ如ＯｕｔｐｕｔＦｅｅｄｂａｃ
ｋＣｏｎｔｒｏＬＩＥＥＥＴｒａｍ．Ａｕｔｏ．Ｃｏｎｔｍｉ，１９９６＇＇Ｃ０１．４１．Ｎｏ．１。
ＰＰ－１００３－１００７
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［１７Ｉ：：ＦＮ末．高立．张嗣握．一类不确定非线性系统的鲁棒也控制．自动化学报。１９９９，２５（２）：２２１－２２５
ｆ１８】张凌波，晏ｔ．挂卫华．一娄具有加法不确定性非线性系统的鲁棒性分析和综合方法．中南工业大学学报．２啪０＇３１Ｏ）：２７２－２７４
［１９ｌＬａＷＭ，ＤｏｙｌｅＪ
Ｃ儿ｅｍｍｖｌｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓ：Ａｃ∞ｖ“ｃｈａｎＫ：龇脚打Ⅻ∞咖Ｏｎ＾Ⅲ＂Ⅻ妇ＣｏⅢｎｄ，１９９５．４．０ａ）：１６６８—１６７５
【２０］ＬａＷＭ’ＤｏｙｌｅＪＣ．Ｒｏｂｕｓｍｅｓｓａｎａｌｙｓｉｓａｎｄｓｙｍｈ∞ｉｓｆ
ｏｒｎｏｎ，ｎｅａｒ岫∞ｍ曲ｓ＂忙ｍ鼻臃打硼阳ｃｌ‘ｍ５（ｈＡｕｒｏｒｍａｌｃＣｏｎｔｍｔ，１９９７．４２（１２）：１６５４－１酣ｘＴ．
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