陈华昊，施寅跃，龙瑞华，吉 亮，居一峰
(海南电网有限责任公司海口供电局，海南 海口 570100)
摘要：针对大规模集中用电导致电力系统负荷端激增从而影响电力系统稳定性的问题，提出一种基于事件触发的H ∞优化控制方式。本文采用扇区法对单机无穷大电力系统进行线性化处理，之后通过模糊逻辑建立电力系统的T -S 模糊模型。通过事件触发理论和模糊逻辑利用并行分布补偿(parallel distribution compensation ，PDC)的方法设计系统控制器。H ∞优化控制相比于传统的控制方法提高了系统的稳定性及抗干扰能力，因此本文根据李雅普诺夫稳定性理论和H ∞优化控制理论，基于线性矩阵不等式(linear Matrix Inequality ，LMI)，给出了保证单机无穷大电力系统闭环渐进稳定的充分条件，并采用MATLAB 仿真软件对系统进行仿真，从而证明稳定条件的存在。 关键词：
单机无穷大电力系统； H ∞优化控制；T -S 模糊模型；事件触发理论；线性矩阵不等式中图分类号：TP273；TM712 文献标志码：A 文章编号：
1671-9913(2021)04-74-07H ∞ Optimal Control of Power System Based on Event-Triggered
CHEN Hua-hao, SHI Yin-yue, LONG Rui-hua, JI Liang, JU Yi-feng
(Haikou Power Supply Bureau of Hainan Power Grid Co., Ltd., Haikou 570100, China)
Abstract: Based on event-triggered an H ∞ optimal control method is proposed to solve the problem that power system stability is affected by this situation that large-scale centralized power consumption cause a surge in the load side of the power system. In this paper, the sector method is used to linearize the single machine infinite power system. The T-S fuzzy model of power system is established by fuzzy logic. Through event-triggered theory and fuzzy logic, the system controller is designed by parallel distributed compensation ( PDC ). Compared with traditional control methods, H ∞ optimal control improves the stability and anti-interference ability of the system. According to Lyapunov stability theory and H ∞ optimal control theory, based on linear matrix inequality ( LMI ), sufficient conditions are given to ensure the closed-loop asymptotic stability of a single machine infinite power system. Finally, MA TLAB simulation software is used to simulate the system, thus proving the existence of stable conditions.
Keywords: single machine infinite power system; H ∞optimal control; T-S fuzzy control; event-triggered theory; linear
matrix inequalities
* 收稿日期：2019-05-09
第一作者简介：陈华昊(1993-)，男，硕士，工程师，主要从事电力系统稳定分析和电力系统智能技术工作。
DOI ：10.13500/j.dlkcsj.issn1671-9913.2021.04.015
0 引言
我国南方地区因夏季炎热居民用户大规模
使用空调、电扇等家用电器，用电量急剧增加；
此外，据工信部统计截至2021年3月，我国新能源汽车产销量连续6
年位居全球第一，累计
销量超过550万辆。电动汽车充电具有极强的不确定性，若恰巧大规模集中充电则负荷端用电量将急剧上升，对电力系统稳定性带来影响。若处理不好则突增的用电负荷可能会使电网失稳造成大规模停电。因此保证电网的稳定不论对于国民经济还是对于人民生活都至关重要。本文主要针对单机无穷大电力系统为研究对象进行研究从而得出确保其稳定的理论依据。因单机无穷大电力系统模型为简化后的电力系统模型有助于电力系统稳定性的研究，避免了考虑不必要的影响因素。
模糊控制主要用途就是解决现实生活中许多传统模型控制无法解决的问题。它与传统控制相比优点是在许多应用中可以有效且便捷地实现人的控制策略和经验，并且可以从不确定或不精准的系统中建立模型从而进行研究[1-4]。通过T-S模糊控制人们研究解决了许多问题，其中包括Holmblad和Ostergaard为工业过程开发的第一个模糊控制器—模糊水泥窑控制器，他们不仅把模糊理论应用在了控制实践同时也充分显示了模糊控制技术的应用前景，但T-S模糊控制也会因其处理的信息相对简单而导致系统的控制精度降低这也是其需要改进的地方。电力系统因结构复杂，参数众多，很难得到它准确、精准的数学模型，现已知的诸多电力系统模型也大都是经过简化的数学模型，因此对于研究电力系统稳定性而言采用T-S模糊模型控制是非常适合的，现今人们利用T-S模糊控制在提高电力系统鲁棒性方面已经取得了一定成就。T-S模糊模型的优点在于它充分运用了李雅普诺夫稳定性理论来进行系统分析和控制器设计，通过对非线性系统进行T-S模糊建模，然后提供一套系统化的方法来研究非线性系统的稳定性以及控制器设计问题[5-6]。H
∞
优化控制的主要功能是消除或减弱系统受到的干扰从而实现增强系统抗干扰的能力有助于大幅提高系统的稳定性，因此特别适用于电网中含有风能发电这种随机性强、干扰性大的电力系统，H∞优化控制相比于传统的控制方法其不仅能提高系统的稳定性和抗干扰能力而且还表现出控制效果好、响应速度快等特点，是一个较为成熟的控制方法。
1 单机无穷大电力系统数学模型在实际情况中电力系统复杂且多变不利于进行理论研究，因而在理论研究中普遍将发电机功率远小于系统总容量的电力系统看做单机无穷大电力系统，以便于进行理论研究。本文所指单机无穷大电力系统模型属于I型T-S模糊模型。单机无穷大电力系统连线图如图1所示。 2
3
1
4
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图1 单机无穷大电力系统连线图
图1中G为发电机；T为变压器；1、2、3、4、表示断路器。现已知单机无穷大电力系统模型如式(1)所示[7]。
δ-= ω
ω-=
ω0
H
P m-
ω0V s E'q
sinδ-
D
H
ω+w1(t)
E-'q=-
1
T'do
E'q+ (x d-x
'
d
)
V s cosδ+
1
T do
V f+w2(t)
Hx'dz
T do x'd z
(1)
式中：δ为发电机转子运行角；ω为发电机相对转速；E
-'
q
为发电机q轴暂态电势；ω0为发电机初始角速度；H为发电机转子的转动惯量；P m为原动机输出的机
械功率；V s为无穷大母线电压；x'dz为发电机暂态电抗之和；D为发电机阻尼系数；T'do为定子绕组闭路时励磁绕组的时间常数；x'd为发电机轴暂态电抗；x d为发电机轴等值电抗；T do为励磁绕组闭路时励磁绕组的时间常数；V f为励磁绕组电压，定为控制变量。w1
(t)、w2(t)为干扰量函数。
2 数学模型线性化并建立T-S模糊 模型
根据式(1)，令x1(t)=δ、x2(t)=ω、x3(t)=E'q、u(t)=V f，则可得sinδ=sin(x1(t))，cosδ=cos(x1(t))，其中，x1(t)∈[-1.146，-0.573]，x2(t)∈[-π/2，π/2]。根据参考文献[8]，可得到式(2)。
z 1(t )=sin(x 1(t ))=∑N i (z 1(t ))a i i =1
2
(2)
其中：
N 1(z 1(t ))= z 1(t )-a 2a 1-a 2，
N 2(z 1
(t ))= a 1-z 1(t )
a 1-a 2。其中：
a 1、a 2分别为z 1(t )的最大值和最小值。表达式如下：
max (z 1(t ))=-0.01=a 1
x 1(t )
，min (z 1(t ))=-0.02=a 2x 1
(t )。
b x (t )
b x (t )
x 1(t )
图2 cos(x 1(t ))的扇区图
由图2可以看出，扇区[b 1, b 2]，是由两条线b 1x 1和b 2x 1组成，斜率分别为b 1=22/π，b 2=-22/π。根据参考文献[8]，通过扇区法可将cos(x 1(t ))线性化，可得到式(3)。
z 2(t )=cos(x 1(t ))=(∑F i (z 2(t ))b i )x 1(t )
i =12
(3)
从隶属度函数的性质F 1(z 2(t ))+F 2(z 2(t ))=1，可得到隶属度函数如下：
F 1(z 2(t
，z 2(t )≠0 (4)
F 2(z 2(t
，z 2(t )≠0
(5)
根据上述推导可得到：×(0 1 00 a βa i ζb i 1 η
x (t )+00λ
u (t )+0
11
w (t ))=∑N i (z 1(t ))∑F i (z 2(t ))i =1
i =1
22
x -
1(t )
x -2(t )x -3(t )
(6)
式中：
x (t )=[x 1(t ) x 2(t ) x 3(t )]T
，
w (t )=[0 w 1(t )w 2(t )]T
， a =-D /H ，β=-ω0V s /Hx 'dz ，ζ=(x d -x 'd )V s /T do x 'dz ，
η=-1/T '
do ，λ=1/T do 。令
A l = 0 1 0
0 a βa i ζb i 1 η
， B l = 00λ
， B wl = 011
单机无穷大电力系统各参数如表1所示。
表1 单机无穷大电力系统各参数
参数名称
取值D 0.15H
12.9V s
1T do
6.45T 'do
1.20x d
0.83x 'd 0.105x
'dz
0.16ωo
314.154
通过扇区法对单机无穷大电力系统进行线性化后满足T-S 模型的线性化规则，根据式(6)可得到模糊规则如下：规则1：如果z 1(t )是1，z 2(t )是1，则 x -
(t )=A 1x (t )+B 1u (t )+B w 1w (t ) (7)
式中：
A 1 = 0 1 0 0 -0.111 6 1.5190.627 3 0 -0.84
，
B 1 = 0 00.155
，
B w 1 =0
11
规则2：如果z 1(t )是-1，z 2(t )是-1，则 x -
(t )=A 2x (t )+B 2u (t )+B w 2w (t ) (8)
式中：
A 2 = 0 1 0 0 -0.111 6 3.038-0.627 3 0 -0.84
，
B 2 = 0 00.155
，
B w 2 =0
11
式中：
u (t )∈R m 是控制输入，是x (t )∈R n 状态变量，w (t )∈R m 是干扰量。F g (g=1,2)为模糊集，z (t )=[z 1(t ), z 2(t )]T 是可测的系统变量，即前件
变量。
采用单点模糊化、乘积推理和加权反模糊化，单机无穷大电力系统的全局模糊模型为：
x -
(t )
=∑μl (z (t ))[A l x (t )+B l u (t )+B wl w (t )]
l =1
2
(9)
式中：
μl 为式(10)和式(11)的归一化隶属度函数。
μl (z (t )) =a l (z (t )) /∑a l (z (t )), μl (z (t ))≥0, ∑μl (z (t ))=1
l =1
l =1
2
2
(10)
a l (z (t ))=F g (z (t )), a l (z (t ))≥0, ∑μl (z (t ))＞0l =1
2
(11)
式中：
F g (z (t ))是z (t )关于模糊集F g 模糊隶属函数。3 控制器的设计
对于连续状态模糊T-S 模型，因本文描述对象的模糊规则前件相同，而且相应的模糊规则的隶属度函数也相同，规则后件不同，故采用并行分布补偿(PDC)技术设计单机无穷大电力系统的控制器。第l 个控制规则如下[9]：
如果(z 1(t ))大约是F 1，如果(z 2(t ))大约是F 2则，
u (t )=K h x (t k )
(12)
采用单点模糊化、乘积推理和加权反模糊
化，可得模糊分散控制器如下：
μ(t ) =∑μh K h x (t k )h =1
2
(13)
式中：
K h 为确定的静态增益反馈矩阵。采用触发条件为：
‖H e e i (t )‖＜ρ‖H x x i (t )‖ (14)
式中：
H e ，H x 为预先设定的矩阵，ρ的取值根据电力系统的高性能控制目标来给定。
定义事件触发形式为： e (t )=x (t k )-x (t ), t ∈[t k , t k +1)
(15)
将式(15)代入式(12)后可得到模糊分散控制器如下：
μ(t ) =∑μh k h (e (t )+x (t ))h =1
2
(16)
将式(16)代入式(9)后可得到非线性子系
统的模糊模型的闭环方程为：
x -
(t ) =∑∑μl μh [(A l +B l K h )x (t )+B l K h e (t )+B wl w (t )]
z (t ) =∑μl [C l x (t )+D l w (t )]
l =1l =1
h =122
2
(17)
4 单机无穷大电力系统稳定性判据
通过上述分析以将电力系统转换成T-S 模糊模型，接下来要将模糊模型进行H ∞优化控制，
采用控制进行H ∞优化控制，首先进行H ∞的性能分析，在零初始状态下的性能指标为[10-11]：
∫[z T
(t )z (t )-γ2
w T
(t )w (t )]dt ＜0∞0
(18)
式中：
γ为常数是外部干扰的抑制指标参考值，已知V (x )=x T (t )P x (t )是李雅普诺夫函数，将 式(18)后面加一个V (x (t ))在减去一个V (x (t ))，在将+V (x (t ))带入积分内可得到：
∫[z T (t )z (t )-γ2w T
(t )w (t )+ d dt V (t )]dt -V (t )∞
0 (19)本节基于李雅普诺夫稳定性理论将模糊逻
辑、事件触发、H ∞优化控制相结合，利用线性矩阵不等式(LMI)技术[12]，求得状态反馈控制器的存在条件，确保闭环系统李雅普诺夫意义下的渐近稳定性，给出单机无穷大电力系统稳定性判据问题状态反馈控制器的控制方法。
引理1：给出任意一个对称矩阵S =S T 。
S =
S 11 S 12S 21
S 22
式中：
S 11∈R r ×r ，S 12、S 21、S 22是已知的矩阵。则以下三个等式等价且均成立。
S ＜0；S 11-S 12S 22-1S 12T
＜0, S 22＜0；S 22-S 12T S 11-1S 12＜0, S 11＜0
引理2：给定适当维数的常数矩阵X 和Y ，对于任意的ε>0，使下列不等式成立[13]：
X T Y +Y T X ≤εX T X +ε-1Y T Y
定理1：针对单机无穷大电力系统(1)而言，如果存在正定对称矩阵解Q ，使得如下线性矩阵不等式成立，则模糊分散控制器(13)使得整个单机无穷大电力系统闭环方程(17)在李雅普诺夫意义下是渐进稳定的。
(20)
证明：取(1)系统的李雅普诺夫函数 V (t )=x T (t )P x (t )，求V (t )对时间的导数，得到： V -(t )=x -T (t )P x (t )+x T (t )P x -
(t )
(21)
将式(17)代入式(21)可得：
QA l T +A l Q +H T h B T l +B l H h +ρI B wl QC T
l B l B T wl -γ2I D T l 0
C l Q
D l -I 0
B T l 0 0 -I
＜0
V -
(t )=∑∑μl μh [x T (t )A T l P x (t )+x T
(t )K T h B T l P x (t )
+e T (t )K T h B T l P x (t )+w T
(t )B T wl P x (t )+
x T (t )PA l x (t )+x T
(t )PB l K h x (t ) +x T
(t )PB l K h e (t )+x T
(t )PB wl w (t )
l =1h =1
2
2
根据引理2，设X =K h e (t ), Y =B T l P x (t )则可以得到：
e T (t )K T h B T l P x (t )+x T
(t )PB l K h e (t )≤
e T
(t )K T
h
K h e (t )+x T
(t )PB l B T l
P x (t )
(22)
根据式(14)令H e =K h ，H x =P ，则‖K h e (t )‖
＜ρ‖P x (t )‖，可得到如下不等式：
e T (t )K T h K h e (t )＜ρx T
(t )PP x(t)
(23)
根据式(22)和式(23)则可以得到：
ρx T (t )PP x (t )+x T (t )PB l B T l P x (t )
=x T (t )(ρPP +PB l B T
l P )x (t )
(24)
通过式(22)和式(24)可得到：
e T (t )K T h B T l P x (t )+x T (t )PB l K h e (t )
≤x T
(t )(ρPP +PB l B T
l
P )x (t )
(25)
根据(25)可得：
V -
(t ) ≤∑∑μl μh [(x T (t )A l T P x (t )+x T
(t )PA l x (t ) x T
(t )K T h
B T l P x (t )+w T (t )B T wl P x (t ) +x T (t )PB l K h x (t )+x T (t )PB wl w (t ) +x T (t )(ρPP +PB l B T l P )x (t )]
l =1h =1
22
(26)接下来，要确定式(13)中的模糊控制器实
现式(19)中的H ∞性能指标。通过之前的证明，现将式(17)关于z (t )的部分和式(26)代入式(19)后可得到如下形式：
∫[z T (t )z (t )-γ2w T (t )w (t )+∑∑μl μh x T
(t )(A T l P
+PA l +K T h B T l P +PB l K h +ρPP +PB l B T l
P )x (t )+w T (t)B T wl P x (t )+x T
(t )PB wl w (t )]]dt -V (t )
l =1h =1
22
∞0
(27)
因为当t =∞时，V (t )趋近于0，所以式(27)可写成式(28)。
∫ x (t ) w (t ) T
C l T
D l
T [C l D l ]+∑∑μl μh Ωlh
PB wl x (t ) dt ＜0l =1h =1
22
∞
B T wl P -γ2
I w (t )
(28)
则可以得到如下矩阵：
C l
T D l
T [C l D l ]+ Ωlh PB wl ＜0B T wl P -γ2I Ωlh =A T l P +PA l +k T h B T l P +PB l K h +ρPP +PB l B T
l P ，
整理后，存在一个状态反馈H ∞控制，当且仅当
存在一个对称正定矩阵P ，使以下的矩阵不等式成立。
Ωlh PB wl C l T
＜0B T wl P -γ2I D l
T C l
D l
-I
(29)
根据变换式(29)可写成式(30)
[B T l P 0 0]+
Ω~
lh PB wl C l T
＜0B T wl P -γ2I D l
T C l
D l
-I
PB l 0
(30)Ω~
lh =A T l P +PA l +K T h B T
l P +PB l K h +ρPP ，根据定理1，
式(30)可写成式(31)。
Ω~
lh PB wl C l T
PB l ＜0
B T wl P -γ2
I D l
T 0 C l
D
l
-I 0
B T l P
-I
(31)
上式中存在未知矩阵变量P ，因为该矩阵
变量是以非线性的形式出现在这个矩阵不等式中的，所以，若直接从以上矩阵不等式中求出P 的解是
很困难的。但是，可以采用一个适当的变量去替换它，将上式转化为一个等价的关于新的变量的线性矩阵不等式，从而可以应用求解线性矩阵不等式的有效工具来求解这组新变量，进而得到P 的值。
因此可以将上式左边的矩阵分别左乘和右乘矩阵diag (P -1, I , I , I )，可得到：
Ω^
lh B wl P -1C l T
B l ＜0
B T wl -γ2
I D l
T 0 C l P
-1
D
l
-I
B T l 0
-I
(32)Ω^lh =P -1A T l +A l P -1+P -1K T h B T l +B l K h P -1
+ρI ，在令Q =P -1，H h =K h Q ，式(32)可写成式(20)。
证明完毕。
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