本系列共15讲
.
文档贡献者：与你的缘
本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题——有关两个自然数，它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。 定理1两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。即如果(a,b)=d，那么(a÷d,b÷d)=1.
证明：设a÷d=a1,b÷d=b1，那么a=a1d,b=b1d.
假设(a1,b1)≠1，可设(a1,b1)=m(m＞1)，于是有a1=a2m, b1=b2m.(a2,b2是整数)
所以，a=a1d=a2md,b=b1d=b2md.
那么md是a、b的公约数。
又∵m＞1，∴md＞d.
这就与d是a、b的最大公约数相矛盾。因此，(a1,b1)≠1的假设是不正确的。所以只能是(a1,b1)=1，也就是(a÷d,b÷d )=1.
定理2两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。（证明略）
定理3两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。（证明略）
下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。
例1甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数。 解法1：由甲数×乙数=甲、乙两数的最大公约数×两数的最小公倍数，可得
36×乙数=4×288
乙数=4×288÷36
解出乙数=32
解法2：因为甲、乙两数的最大公约数为4，则甲数=4×9，设乙数=4×b1，且（b1，9）=1。
因为甲、乙两数的最小公倍数是288，
则288=4×9×b1，
b1=288÷36
解出b1=8
所以，乙数=4×8=32
答：乙数是32。
例2已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这
两个数的和是多少？
解：要求这两个数的和，我们可以先求出这两个数各是多少。设这两个数为a、b，a＜b。
因为这两个数的最大公约数是21，故设a=21a1,b=21b1，且（a1，b1）=1。
因为这两个数的最小公倍数是126，
所以126=21×a1×b1于是a1×b1=6
解出a1=1a1=2
b1=6b1=3
则a=21×1=21a=21×2=42
b=21×6=126b=21×3=63
因此，这两个数的和为21＋126=147，或42＋63=105。
答：这两个数的和为147或105。
例3已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。
解：设这两个自然数分别为a与b，a＜b。因为这两个自然数的最大公约数是5，故设a=5a1，b=5b1，且（a1，b1）=1，a1＜b1。
因为a＋b=50，所以有5a1＋5b1=50，a1＋b1=10。
满足（a1，b1）=1，a1＜b1的解有：
a1=1a1=3
b1=9b1=7
所以，a=5×1=5或a=5×3=15
b=5×9=45b=5×7=35
答：这两个数为5与45或15与35。
例4已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。
解：设这两个数为a与b，a＜b，且设（a，b）=d,a=da1,b=db1 ，其中（a1，b1）=1。
因为两个自然数的积=两数的最大公约数×两数的最小公倍数，所以240=d×60
解出d=4
所以a=4a1,b=4b1.
因为a与b的最小公倍数为60，
所以4×a1×b1=60,
于是有a1×b1=15。
解出a1=1a1=3
b1=15b1=5
所以a=4×1=4或a=4×3=12
b=4×15=60b=4×5=20
答：这两个数为4与60或12与20。
例5已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数。
解：设这两个自然数分别为a与b，a＜b，(a,b)=d,a=da1 ,b=db1，其中(a1,b1)=1.
因为a＋b=54，所以da1＋db1=54。
于是有d×(a1＋b1)=54，因此，d是54的约数。
又因为这两个数的最小公倍数与最大公约数的差为114，
所以da1b1－d=114,
于是有d×(a1b1－1)=114,
因此，d是114的约数。
故d为54与114的公约数。
由于（54，114）=6，6的约数有：1、2、3、6，根据定理3，d可能取1、2、3、6这四个值。
如果d=1，由d×(a1＋b1)=54，有a1＋b1=54；又由d×(a1b1－1)=114，有a1b1=115。
115=1×115=5×23，但是1＋115=116≠54，5＋23=28≠54，
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议