2019-2020学年苏教版数学精品资料
学习目标 1.巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的问题． 知识点一点与椭圆的位置关系
已知点P(x0，y0)与椭圆x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)．
(1)当P在椭圆外时，x20
a2
＋
y20
b2
>1；
(2)当P在椭圆上时，x20
a2
＋
y20
b2
＝1；
(3)当P在椭圆内时，x20
a2
＋
y20
b2
<1.
知识点二直线与椭圆的位置关系
思考1直线与椭圆有几种位置关系？
答案有三种位置关系，分别是相交、相切、相离．
思考2如何判断y＝kx＋m与椭圆x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的位置关系？
答案联立y＝kx＋m，
x2
a2
＋
y2
b2
＝1，
消去y得关于x的一元二次方程，则
位置关系解的个数Δ的取值
相交两解Δ>0
相切一解Δ＝0
相离无解Δ<0
梳理(1)判断直线和椭圆位置关系的方法：
将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离．
(2)根与系数的关系及弦长公式：
设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)相交，两个交点为A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长．AB＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到．
1．直线与椭圆有且只有一个公共点时，直线与椭圆相切．(√)
2．直线x
2
－y＝1被椭圆x
2
4
＋y2＝1截得的弦长为 5.(√)
3．已知椭圆x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．(×)
4．直线y＝k(x－a)与椭圆x2
a2
＋
y2
b2
＝1的位置关系是相交．(√)
类型一点、直线与椭圆位置关系的判断命题角度1点与椭圆位置关系的判断
例1已知点P(k,1)，椭圆x2
9
＋
y2
4
＝1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为____________．
答案－∞，－33
2
∪
33
2
，＋∞
解析依题意得，k2
9
＋
1
4
>1，
解得k<－33
2
或k>
33
2
.
引申探究
若将本例中P点坐标改为“P(1，k)”呢？
答案－∞，－42
3∪42
3
，＋∞
解析依题意得，1
9
＋
k2
4
>1，解得k2>
32
9
，
即k<－42
3
或k>
42
3
.
反思与感悟处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．
跟踪训练1已知点(1,2)在椭圆y2
n
＋
x2
m
＝1(n>m>0)上，则m＋n的最小值为________．
答案9
解析依题意得，1
m
＋
4
n
＝1，
而m＋n＝(m＋n)1
m
＋
4
n
＝1＋4m
n
＋
n
m
＋4
＝5＋4m
n
＋
n
m
≥5＋24m
n
·
n
m
＝9，
(当且仅当n＝2m时等号成立)
故m＋n的最小值为9.
命题角度2直线与椭圆位置关系的判断
例2对不同的实数m，讨论直线y＝x＋m与椭圆x2
4
＋y2＝1的位置关系．
考点直线与椭圆的位置关系
题点直线与椭圆的公共点个数问题
解由y＝x＋m，
x2
4
＋y2＝1，
消去y，
得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
Δ＝64m2－4×5×(4m2－4)＝16×(5－m2)．
当－5＜m＜5时，Δ＞0，直线与椭圆相交；
当m＝－5或m＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切；
当m＜－5或m＞5时，Δ＜0，直线与椭圆相离．
反思与感悟判断直线与椭圆位置关系时，准确计算出判别式Δ是解题关键．
跟踪训练2在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆x2
2
＋y2＝1
有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．考点直线与椭圆的位置关系
题点直线与椭圆的公共点个数问题
解由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋2，
代入椭圆方程得x2
2
＋(kx＋2)2＝1，
整理得1
2
＋k2x2＋22kx＋1＝0，
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－41
2
＋k2＝4k2－2＞0，解得k＜－
2
2
或k＞
2 2
，
所以k的取值范围为－∞，－
2
2
∪
2
2
，＋∞.
类型二弦长及中点问题
例3已知椭圆x2
16
＋
y2
4
＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程．
解方法一根与系数的关系、中点坐标公式法
由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)．
将其代入椭圆方程并整理，
得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，
于是x1＋x2＝82k2－k 4k2＋1
.
又M为线段AB的中点，
∴x1＋x2
2
＝
42k2－k
4k2＋1
＝2，解得k＝－
1
2
.
经检验，当k＝－1
2
时，(*)式的判别式Δ＞0.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二点差法
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.
∵M(2,1)为线段AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又A，B两点在椭圆上，则x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16，两式相减，得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)·(y1－y2)＝0.
∴y1－y2
x1－x2
＝－
x1＋x2
4y1＋y2
＝－
4
4×2
＝－
1
2
，
即直线AB的斜率k AB＝－1
2
.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法三对称点法(或共线法)
设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，由于点M(2,1)为线段AB的中点，
则另一个交点为B(4－x,2－y)．
∵A，B两点都在椭圆上，∴x2＋4y2＝16，①4－x2＋42－y2＝16.②
①－②，得x＋2y－4＝0.
即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
引申探究
在本例中求弦AB的长．
解由上例得直线AB方程为x＋2y－4＝0.
联立方程组x＋2y－4＝0，
x2
16
＋
y2
4
＝1，
消去y并整理，得
x(x－4)＝0，得x＝0或x＝4，
得两交点坐标A(0,2)，B(4,0)，
故AB＝0－42＋2－02＝2 5.
反思与感悟直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问
题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式．而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程．
跟踪训练3已知椭圆x2
36
＋
y2
9
＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．
(1)当直线l的斜率为1
2
时，求线段AB的长度；
(2)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
解(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝1
2
(x－4)，
即y＝1
2
x.由
y＝
1
2
x，
x2
36
＋
y2
9
＝1，
消去y可得x2－18＝0，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝0，x1x2＝－18. 于是AB＝x1－x22＋y1－y22
＝x1－x22＋1
4
x1－x22
＝
5
2
x1＋x22－4x1x2＝
5
2
×62＝310.
所以线段AB的长度为310.
(2)设A(x3，y3)，B(x4，y4)，
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