二次函数专题一：角度
y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点(0C ，3)，过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ，抛物线的顶点为M ，直线5y x =+经过D 、M 两点.
（2）连接AM 、AC 、BC ，试比较MAB ∠和ACB ∠的大小，并说明你的理由.
思路点拨：对于第（1）问，需要注意的是CD 和x 轴平行（过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ） 对于第（2）问，比较角的大小
a 、 如果是特殊角，也就是我们能分别计算出这两个角的大小，那么他们之间的大小关系就清楚了 b 、 如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角，那么大小关系就确定了 c 、 如果稍难一点，这两个角转化成某个三角形的两个内角，根据大边对大角来判断角的大小
d 、 除了上述情况外，那只有可能两个角相等，那么证明角相等的方法我们学过什么呢，全等三角形、
相似三角形和简单三角函数，从这个题来看，很明显没有全等三角形，剩下的就是相似三角形和简单三角函数了，其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的，都是对应边的比相等
e 、 可能还有人会问，这么想我不习惯，太复杂了，那么我再说一个最简单的方法，如何快速的出题
目的结论问题，在本题中，需要用到的点只有M 、C 、A 、B 这四个点，而这四个点的坐标是很容易求出来的，那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来，再用量角器去量这两个角大大小，你就能得出结论了，得出结论以后你再看d 这一条 解：（1）∵CD∥x 轴且点C （0，3），
∴设点D 的坐标为(x ，3) ． ∵直线y= x+5经过D 点， ∴3= x+5．∴x=－2． 即点D(－2，3) ．
根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M （－1，y ）， 又∵直线y= x+5经过M 点，
∴y =－1+5，y =4．即M （－1，4）．
∴设抛物线的解析式为
2
(1)4y a x =++． ∵点C （0，3）在抛物线上，∴a=－1．
即抛物线的解析式为
223y x x =--+．…………3分 （2）作BP⊥AC 于点P ，MN⊥AB 于点N ．
由（1）中抛物线
223y x x =--+可得 点A （－3，0），B （1，0）， ∴AB=4，AO=CO=3，AC=32．
∴∠PAB＝45°．
∵∠ABP=45°，∴PA=PB=22． ∴PC=AC－PA=2．
在Rt△BPC 中，tan∠BCP=PB
PC =2．
在Rt△ANM 中，∵M（-1，4），∴MN=4．∴AN=2．
tan∠NAM=MN
AN =2．
∴∠BCP＝∠NAM． 即∠ACB＝∠MAB．
后记：对于几何题来说，因为组成平面图形的最基本的元素就是线段和角（圆分开再说），所以几何的证
明无非就是线段之间的关系，角之间的关系，在二次函数综合题里，我主张首先要想到的是利用角之间的关系来解题，其次才是利用线段之间的关系来解题，除非你很快就能看出利用线段之间的关系来解题很简单，因为在直角坐标系里要求两点之间的距离是很麻烦的，尤其是不知道某个点的确切坐标时，那么这个题给了我们一个如果判断角之间关系的基本思路
2、（2012朝阳一模第24题8分）24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
3y ax bx =++经过点N （2,
－5），过点N 作x 轴的平行线交此抛物线左侧于点M ，MN =6. （1）求此抛物线的解析式；
（2）点P （x ,y ）为此抛物线上一动点，连接MP 交此抛物线的对称轴于点D ，当△DMN 为直角三角形时，
求点P 的坐标；
（3）设此抛物线与y 轴交于点C ，在此抛物线上是否存在点Q 若不存在，说明理由.
24. 解：（1）∵32
++=bx ax y 过点M 、N （2，－5），MN 由题意，得M （4-，5-）.
∴⎩
⎨⎧-=+--=++.53416,5324b a b a
解得 ⎩⎨
⎧-=-=.
2,
1b a
∴此抛物线的解析式为322
+--=x x y . …………………………………2分 （2）设抛物线的对称轴1-=x 交MN 于点G ，
若△DMN 为直角三角形，则32
1
21==
=MN GD GD . ∴D 1（1-，2-），2D （1-，8-）. ………………………………………4分 直线MD 1为1-=x y ，直线2MD 为9--=x y . 将P （x ，322+--x x ）分别代入直线MD 1，
2MD 的解析式，
得1322-=+--x x x ①，9322
--=+--x x x ②.
解①得 11=x ，42-=x （舍），
∴1P （1,0）. …………………………………5分 解②得 33=x ，44-=x （舍），
∴2P （3,－12）. ……………………………6分 （3）设存在点Q （x ，322
+--x x ），
使得∠QMN =∠CNM .
① 若点Q 在MN 上方，过点Q 作QH ⊥MN ，
交MN 于点H ，则
4tan =∠=CNM MH
QH
. 即）（445322+=++--x x x .
解得21-=x ，42-=x （舍）.
∴1Q （2-，3）. ……………………………7分 ② 若点Q 在MN 下方，
同理可得2Q （6，45-）. …………………8分
3、（2012西城一模25题8分）25．平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
44y ax ax a c =-++与x 轴交于点
A 、点
B ，与y 轴的正半轴交于点
C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB =OC ，抛物线的顶点为
D ．
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB =∠ACB ，求点P 的坐标；
(3) Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，若2=-QB QA ，求点Q 的坐标
和此时△QAA '的面积．
25．解：（1）∵ 22
44(2)y ax ax a c a x c =-++=-+，
∴ 抛物线的对称轴为直线2x =．
∵ 抛物线2
44y ax ax a c =-++与x 轴交于
点A 、点B ，点A 的坐标为(1,0)，
∴ 点B 的坐标为(3,0)，OB ＝3．…………… 1分 可得该抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =--． ∵ OB =OC ，抛物线与y 轴的正半轴交于点C ， ∴ OC =3，点C 的坐标为(0,3)．
将点C 的坐标代入该解析式，解得a =1．……2分
∴ 此抛物线的解析式为2
43y x x =-+．（如图9
（2）作△ABC 的外接圆☉E ，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为点F ，设☉E 与抛物线的对称轴
位于x 轴上方的部分的交点为点1P ，点1P 关于x 轴的对称点为点2P ，点1P 、点2P 均为所求点.（如图10）
可知圆心E 必在AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x =上．
∵ 1
APB ∠、ACB ∠都是弧AB 所对的圆周角， ∴ ACB B AP ∠=∠1，且射线FE 上的其它点P 都不满足ACB APB ∠=∠． 由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．
可得圆心E 也在BC 边的垂直平分线即直线y x =上．
∴ 点E 的坐标为(2,2)E ．………………………………………………… 4分
∴ 由勾股定理得 EA
∴ 1EP EA ==
∴ 点1P 的坐标为1(2,2P
+．…………………………………………… 5分
由对称性得点2P 的坐标为2(2,2P -． ……………………………… 6分
∴符合题意的点P 的坐标为1(2,2P +
、2(2,2P --. （3）∵ 点B 、D 的坐标分别为(3,0)B 、(2,1)D -，
可得直线BD 的解析式为3y x =-，直线BD 与x 轴所夹的锐角为45°． ∵ 点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，（如图11） 若设AA '与∠AQB 的平分线的交点为M ，
则有 QA QA '=，AM A M '=，AA QM '⊥，Q ，B ，A '三点在一条直线上．
∵ QA QB -=
∴ .2''=-=-=QB QA QB QA BA
作A N '⊥x 轴于点N ．
∵ 点Q 在线段BD 上， Q ，B ，A '三点在一条直线上， ∴ sin451A N BA ''=⋅︒=，cos451BN BA '=⋅︒=． ∴ 点A '的坐标为(4,1)A '． ∵ 点Q 在线段BD 上，
∴ 设点Q 的坐标为(,3)Q x x -，其中23x <<． ∵ QA QA '=，
∴ 由勾股定理得 2222(1)(3)(4)(31)x x x x -+-=-+--．
解得11
4
x =
． 经检验，11
4
x =在23x <<；的范围内．
∴ 点Q 的坐标为111
(,)44
Q -． …………………………………………… 7分
此时1115
()2(1)2244
QAA A AB QAB A Q S S S AB y y '''∆∆∆=+=⋅⋅+=⨯⨯+=．… 8分
二、特殊角 （一）、450角
1、如图，在平面直角坐标系xoy 中，点P 为抛物线2x y =上一动点，点A 的坐标为（4,2），若点P 使∠AOP ＝450
，请求出点P 的坐标。
2、二次函数图象经过点A （－3,0）、B （－1,8）、C （0,6），直线23
2
+=x y 与y 轴交于点D ，点P 为二次函数图象上一动点，若∠PAD ＝450
，求点P 的坐标。
3、（2009－2010海淀初三上期末）已知，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于点A （－2,0）、B （8,0），与y 轴交于点C （0，－4）。直线y=x+m 与抛物线交于点D 、E （D 在E 的左侧），与抛物线的对称点交于点F 。
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m=2时，求∠DCF 的大小；
（3）若在直线y=x+m 下方的抛物线上存在点P ，使∠DPF ＝450
，且满足条件的点P 只有两个，则m 的值为___________________.（第（3）问不要求写解答过程）
1、如图，抛物线
两点轴交于与B A x bx ax y ,3-+=，与y 轴交于点C ，且OA OC OB 3==． （I ）求抛物线的解析式；
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