一、基础过关
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( ) A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
2．已知抛物线y2＝2px (p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且|P1F|，|P2F|，|P3F|成等差数列，则有 ( )
A．x1＋x2＝x3 B．y1＋y2＝y3
C．x1＋x3＝2x2 D．y1＋y3＝2y2
3．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px (p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则|OA|为 ( )
A.p B.p C.p D.p
4．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是
( )
A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－
C．x2＝y－ D．x2＝2y－2
5．抛物线x2＝ay (a≠0)的焦点坐标为__________．
6．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．
二、能力提升
7．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆M：(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值是( )
A.－1 B.－1
C．2 D.－1
8．过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F作两弦AB和CD，其所在直线的倾斜角分别为与，则|AB|与|CD|的大小关系是 ( )
A．|AB|>|CD| B．|AB|＝|CD|
C．|AB|<|CD| D．|AB|≠|CD|
9．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比＝________.
10．已知过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．
11．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；
(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
12．抛物线y2＝2px (p>0)的焦点为F，准线与x轴交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A、B两点．
(1)直线l的斜率为，求证：·＝0；
(2)设直线FA、FB的斜率为kFA、kFB，探究kFB与kFA之间的关系并说明理由．
三、探究与拓展
13．已知过抛物线y
2＝2px (p>0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称AB为抛物线的焦点弦．
求证：(1)y1y2＝－p2；x1x2＝；
(2)＋＝；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
答案
1．B 2．C 3．B 4．A
5.
6.
7．D 8．A
10．解 如图所示，抛物线y2＝2px (p>0)的准线为x＝－，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，设A、B到准线的距离分别为dA，dB，由抛物线的定义知，
|AF|＝dA＝x1＋，
|BF|＝dB＝x2＋，
于是|AB|＝x1＋x2＋p＝p，x1＋x2＝p.
当x1＝x2时，|AB|＝2p<p，直线AB与Ox不垂直．
设直线AB的方程为y＝k.
由得k2x2－p(k2＋2)x＋k2p2＝0.
x1＋x2＝＝p，解得k＝±2.
∴直线AB的方程为y＝2或y＝－2.
11．解 (1)由题意知，抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
·＝x1x2＋y1y2
＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)设l：x＝ty＋b，代入抛物线方程y2＝4x，消去x，得
y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.
∵·＝x1x2＋y1y2
＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，
令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，
∴b＝2，∴直线l过定点(2,0)．
12．(1)证明 ∵Q，
∴直线l的方程为y＝，
由.
消去x得y2－2py＋p2＝0.
解得A，
B.
而F，故＝((1＋)p，(1＋)p)，
＝((1－)p，(－1)p)，
∴·＝－p2＋p2＝0.
(2)解 kFA＝－kFB或kFA＋kFB＝0.
因直线l与抛物线交于A、B两点，
故直线l方程：y＝k (k≠0)．
由，消去x得ky2－2py＋kp2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝p2.
kFA＝，kFB＝，
∴kFA＝＝＝＝－kFB.
13．证明 如图所示．
(1)抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，准线方程：x＝－.
设直线AB的方程为x＝ky＋，把它代入y2＝2px，
化简，得y2－2pky－p2＝0.∴y1y2＝－p2，
∴x1x2＝·＝＝＝.
(2)根据抛物线定义知
|FA|＝|AA1|＝x1＋，|FB|＝|BB1|＝x2＋，
∴＋＝＋
＝＋
＝
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议