万有引力定律
开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上概括出的，给出了行星运动的规律。
| 内容 | 图示 | 备注 |
第一定律(轨道定律) | 所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个公共焦点上 | | 行星运动的轨道必有近日点和远日点 |
第二定律(面积定律) | 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等 | | 行星靠近太阳时速度增大，远离太阳时速度减小，近日点速度最大，远日点速度最小。 |
第三定律(周期定律) | 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．表达式＝k. | | ✍通常椭圆轨道近似处理为圆轨道 ✍也适于用卫星绕行星的运动 |
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二、万有引力定律及其应用
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式：，G为引力常量：G＝6.67×10－11N·m2/kg2.
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．
三、环绕速度
1．第一宇宙速度又叫环绕速度．
得：＝7.9 km/s.
第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．
第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．
第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．
特别提醒:
(1)两种周期——自转周期和公转周期的不同
(2)两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度
(3)两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同
四、近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题
1．近地卫星、同步卫星、赤道上的物体的比较
比较内容 | 赤道表面的物体 | 近地卫星 | 同步卫星 |
向心力来源 | 万有引力的分力 | 万有引力 |
向心力方向 | 指向地心 |
重力与万有引力的关系 | 重力略小于万有引力 | 重力等于万有引力 |
线速度 | v1＝ω1R | v2＝ | v3＝ω3(R＋h) ＝ |
v1＜v3＜v2(v2为第一宇宙速度) |
角速度 | ω1＝ω自 | ω2＝ | ω3＝ω自 ＝ |
ω1＝ω3＜ω2 |
向心加速度 | a1＝ωR | a2＝ωR＝ | a3＝ω(R＋h) ＝ |
a1＜a3＜a2 |
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五、天体的追及相遇问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb，若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近(如图甲所示)。当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远（如图乙所示）。
图甲图乙
当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝2π时，两卫星再次相距最近。
经过一定的时间，两星又会相距最远和最近。
1.两星相距最远的条件：ωaΔt－ωbΔt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2，…)
2.两星相距最近的条件：ωaΔt－ωbΔt＝2nπ(n＝1,2,3…)
3.常用结论：
（1）同方向绕行的两天体转过的角度或（n=0、1、2、……）时表明两物体相距最近。
（2）反方向转动的天体转过的角度或（n=0、1、2、……）时表明两物体相遇或相距最近。
考点一 天体质量和密度的计算
1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即（g表示天体表面的重力加速度)．
在行星表面重力加速度：，所以
在离地面高为h的轨道处重力加速度：，得
2．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于，故天体质量
天体密度：
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力，即，得出中心天体质量；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
3.黄金代换公式：GM＝gR2
例1.(多选)如图，地球赤道上的山丘e、近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则( )
A．v1＞v2＞v3 B．v1＜v3＜v2
C．a1＞a2＞a3 D．a1＜a3＜a2
【答案】 BD
例2.（多选）“嫦娥二号”探月卫星于2010年10月1日成功发射，目前正在月球上方100km的圆形轨道上运行。已知“嫦娥二号”卫星的运行周期、月球半径、月球表面重力加速度、万有引力恒量G。根据以上信息可求出：（） A．卫星所在处的加速度B．月球的平均密度
C．卫星线速度大小D．卫星所需向心力
【答案】ABC
例3.（多选）2014年11月1日早上6时42分，被誉为“嫦娥5号”的“探路尖兵”载人飞行试验返回器在内蒙古四子王旗预定区域顺利着陆，标志着我国已全面突破和掌握航天器以接近第二宇宙速度的高速载人返回关键技术，为“嫦娥5号”任务顺利实施和探月工程持续推进奠定了坚实基础．已知人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t(t小于航天器的绕行周期)，航天器运动的弧长为s，航天器与月球的中心连线扫过角度为θ，引力常量为G，则?：（）
A．航天器的轨道半径为??B．航天器的环绕周期为
C．月球的质量为D．月球的密度为
【答案】BC
例4.（多选）若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L．已知月球半径为R，万有引力常量为G．则下列说法正确的是：（）
A．月球表面的重力加速度B．月球的质量
C．月球的第一宇宙速度D．月球的平均密度
【答案】ABC
【解析】
平抛运动的时间．再根据h=gt2得，得，故A正确；由与，可得：．故B正确；第一宇宙速度：，解得故C正确；月球的平均密度，故D错误；故选ABC.
【名师点睛】解决本题的关键知道平抛运动在水平方向上和竖直方向上的运动规律，以及掌握万有引力提供向心力以及万有引力等于重力这两个理论的运用。
考点二 卫星运行参量的比较与运算
1．卫星的动力学规律
由万有引力提供向心力，
2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
例5.据报道，2016年2月18日嫦娥三号着陆器玉兔号成功自主“醒来”，嫦娥一号卫星系统总指挥兼总设计师叶培建院士介绍说，自2013年12月14日月面软着陆以来，中国嫦娥三号月球探测器创造了全世界在月工作最长记录。假如月球车在月球表面以初速度竖直上抛出一个小球，经时间t后小球回到出发点，已知月球的半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是：（）
A、月球表面的重力加速度为
B、月球的质量为
C、探测器在月球表面获得的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动
D、探测器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为
【答案】C
【名师点睛】根据竖直上抛求得月球表面的重力加速度，再根据重力与万有引力相等和万有引力提供卫星圆周运动向心力分析求解是关键．
例6.某卫星发射中心在发射卫星时，首先将该卫星发射到低空轨道1，待测试正常后通过点火加速使其进入高空轨道2，已知卫星在上述两轨道运行时均做匀速圆周运动，假设卫星的质量不变，在两轨道上稳定运行时的动能之比为。如果卫星在两轨道的向心加速度分别用、表示，角速度分别用、表示，周期分别用、表示，轨道半径分别用、表示。则下列比例式正确的是：（）
A．：=4∶1B．：=2∶1
C．：=1∶8D．：=1∶2
【答案】C
【解析】在两轨道上稳定运行时的动能之比为，则根据可得，根据公式可得，所以轨道1和轨道2的半径之比为，根据公式可得，故：=16∶1，根据公式可得可得：=8∶1，根据公式可得：=1∶8，故C正确；
【名师点睛】在万有引力这一块，涉及的公式和物理量非常多，掌握公式在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后弄清楚各个物理量表示的含义，最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是非常大的，所以需要细心计算
例7.（多选）假设若干年后，由于地球的变化，地球半径变小，但地球质量不变，地球的自转周期不变，则相对于现在：（）
A．地球表面的重力加速度变大
B．发射一颗卫星需要的最小发射速度变大
C．地球同步卫星距离地球表面的高度变大
D．地球同步卫星绕地球做圆周运动的线速度变大
【答案】ABC
【名师点睛】地球表面物体的重力在不考虑地球自转的影响时，就等于地球对物体的万有引力，由此可得，可知不同高度出的g值关系；同步卫星的特点是在赤道所在平面，周期与地球自转周期相同，应用的模型是同步卫星绕地球做匀速圆周运动。
考点三 宇宙速度卫星变轨问题的分析
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