一个分数阶超混沌系统及其投影同步方法

本发明涉及一个分数阶超混沌系统及其投影同步方法，属于电子通信及非线性控制领域。

近些年来，分数阶超混沌系统及其应用引起人们广泛兴趣和深入的研究，整数阶微积分是分数阶微积分理论的特例，整数阶超混沌系统都是对实际混沌系统的理想化处理。分数阶微积分是整数阶微积分理论的推广，利用分数阶微积分算子能更准确地描述实际超混沌系统的动力学特性。当各种系统的阶数为分数时仍然出现超混沌状态且更能反映系统呈现的工程物理现象，这极大促进了人们利用分数阶微积分理论更深入地研究混沌这一自然界普遍存在的物理现象。由于混沌系统对初值的敏感性和长时间的不可预测性，控制混沌成了混沌应用的关键环节。人们提出了多种混沌控制和同步方法，如驱动响应混沌同步方法、线性和非线性反馈同步方法、耦合同步方法、自适应同步方法、驱动参量同步方法等等，这些同步方法大多适用于整数阶混沌系统之间的同步，而关于分数阶超混沌系统的异结构投影同步却鲜有报道。

本发明所要解决的技术问题是提供一个分数阶超混沌系统及其投影同步方法。

为了解决上述技术问题，本发明提供了一个分数阶超混沌系统，所对应的偏微分方程为：

                  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　         (1)

其中， 为状态变量，参数为正实数，为分数阶值。

对于分数阶混沌系统的投影同步方法，一般的驱动系统及响应系统可分别表示为：

                                       　　　　　　　　　　　　　　　　　                  (2)

                                             　　　　　　　　　　　　　　　   (3)    

其中，,为是连续的，,为控制输入。本发明以系统(2)式为驱动系统，(3)式为响应系统，通过设计控制器，来使响应系统和驱动系统达到同步。

设响应系统(3)和驱动系统(2)之间的状态误差为，为比例因子，误差向量，通过设计合适的控制器u,使得

                                                      　　　　　　　　　　　　　　　　　　           (4)

另外，对于分数阶线性系统

                                                      　　　　　　　　　　　　　　　　　           (5)

其中，，C为阶常数矩阵，若矩阵C的所有特征值满足，则分数阶系统(5)是渐近稳定的。

若选取控制器

           　　　　　　　　　　　　　　　　　　　      (6)

其中为常实数矩阵，且可使矩阵[]的所有特征值满足，则系统(3)和(2)是渐近达到投影同步。

本发明的效果及作用

(1) 本发明实现了提供了一个分数阶超混沌系统，其中， 为状态变量，参数为正实数，为分数阶值。

(2) 本发明提出了一个简单而新颖的方法，把分数阶超混沌系统作为驱动系统，实现系统的异构体投影同步控制。这种方法所设计的控制器比较简单，容易实现，有效克服了分数阶超混沌系统的投影同步问题。预示其在雷达，保密通信，电子对抗等领域有着广泛的应用价值。 

为了使本发明的内容更容易被清楚的理解，下面根据的具体实施例并结合附图，对本发明作进一步详细的说明。

图1为分数阶超混沌系统(1)二维及三维相图();(a) (x,y) ; (b) (x,z) ; (c) (y,z) ; (d) (z,x,y)。

图2为分数阶超混沌系统(1)不同初值响应.。

图3为分数阶超混沌系统(1)Poincaré映射，截面为(a) x0 = 0; (b) y0 = 0 ; (c)z0=30 ;(d)w0=0。

图4为分数阶超混沌系统(1)随参数变化李雅普指数谱。

图5为分数阶超混沌系统(1)随参数变化分岔图。

图6为分数阶超混沌系统异构体投影同步误差响应。

图7为分数阶超混沌系统投影二维相图。

通过构建一个分数阶四维超混沌系统，所对应的偏微分方程为：

                                                                                                        (1)

其中， 为状态变量，参数为正实数，为分数阶值。当a=10; b=40; c=2.5; d=10.6；h=4 ;k=1，初始条件为[1 1 50 1 ]^T时，图1为系统(1)轨迹的二维及三维相图。从图1可以看出，此分数阶超混沌系统具有复杂的动力学行为。

1 基本的动力学特性

1．1 平衡点、耗散性

令系统(1)方程的右边为0, 即平衡点可以解下面代数方程求得

                                                                                                             (2)

此系统有一个平衡点。

为了考察系统的稳定性, 可求出每一个平衡点所对应的雅克比矩阵并可计算出其特征值, 在平衡点处，对系统(1)进行线性化，其雅可比矩阵为

                                                                                                           (3)

为了求相对应的特征值, 令

                                                                                                                     (4)

可得到平衡点相应的特征值，

根据Routh‑Hurwitz条件，可知平衡点是不稳定的鞍点，并且系统为超混沌系统。

由于

==‑12.5                                                             (5)

因为则系统是耗散的，且以指数形式收敛为：

                                                                                                                          (6)

可以看出体积元在时刻时收缩为体积元，即意味着当时，包含系统轨线的每个体积元以指数率收缩到零。因此，所有系统轨线最终会被限制在一个体积元为零的集合上，且它渐进运动固定在一个吸引子上。

1．2 初值灵敏度、Poincaré 映射。

当参数a=10; b=40; c=2.5; d=10.6；h=4 ;k=1，如当x0的初值相差d0=0.000001，其它初值不变，可得其初值敏感性如图2所示；从图2可以看出，在12s 可以发现，其序列变得完全不同，充分说明了系统对初值的敏感性。           

Poincaré映射反映了混沌分岔和折叠特性，图3是系统(1)投影在不同平面的Poincaré映射，可以清晰的看出存在许多折叠的枝节，表明系统具有非常丰富的动力学特性。

1.4. 系统参数敏感性分析

当改变时，其它参数不变，可得随变化的Lyapunov指数谱及分岔图分别如图4、图5所示。从图中可以看出，c在很宽的范围内，系统处于超混沌状态。

　分数阶超混沌系统异结构投影同步

在分数阶微积分的研究过程中,，本文采用微分定义来研究分数阶混沌动力学行为,微分定义为：

                          ，                                                       　　　　   (7)

其中，，为第一个不小于的整数, 是阶积分算子，即

                     ，                                            　　　    (8)

对于分数阶混沌系统,可以统一表示成下面的形式：

                                                                                                     　　　　　     (9)

                                                                               　　　　          (10)      

其中，,为是连续的，,为控制输入。本发明所研究的是以系统(9)式为驱动系统，(10)式为响应系统，通过设计控制器,来使响应系统和驱动系统达到同步。

设响应系统(4)和驱动系统(3)之间的状态误差为，为比例因子，误差向量，通过设计合适的控制器u,使得

                                                                                                         　　　　　       (11)

1.2. 分数阶超混沌系统异结构同步控制器设计

引理1. 对于分数阶线性系统

                                                                                                      　　　　         (12)

其中，，C为阶常数矩阵，若矩阵C的所有特征值满足，则分数阶系统(6)是渐近稳定的。

定理 1. 若选取控制器

                                                                　　　　　      (13)

其中K为常实数矩阵，且K可使矩阵[K]的所有特征值满足，则系统(9)和(10)是渐近达到投影同步。

证明：由误差系统，可得

                                                                        　　　      (14)

由引理1,当矩阵[K]的所有特征值满足时，系统(9)和(10)达到渐近投影同步。

选取驱动系统为分数阶Chen超混沌系统，其偏微分方程为：

                                                                       　　　　　　      (15)

当时，此系统是超混沌的。

响应系统为本发明所介绍的分数阶超混沌系统作为响应系统为：

                                                                      　　　　　　     (16)

为了验证此方法的有效性，取,选取初始值为：，比例因子，，控制器按(13)式设计，其投影误差曲线如图6所示；当比例因子时，其投影二维相图如图7所示。

从图6、图7可以看出，此方法有效实现了分数阶超混沌Chen系统和分数阶超混沌系统的异结构投影同步。

综上所述，系统参数对系统状态的变化有非常大的敏感性，而且不同参数的影响也各不相同，随着参数的变化，系统经历不同历程，并采用上述简单且新颖的方法，实现了分数阶超混沌系统的投影同步，所以该系统及方法在电子测量、弱信号检测和保密通信等领域中有着广泛的应用前景。

上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所作的举例，而并非是对本发明的实施方式的限定，对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。