量化输入条件下非严格反馈系统的快速有限时间控制方法

1.本发明涉及一种量化输入条件下非严格反馈系统的快速有限时间控制方法，属于控制工程技领域。

背景技术：

2.由于实际控制系统的复杂性，系统模型往往涉及到不确定函数。模糊控制和神经网络控制等基于近似的控制方法因其强大的逼近未知函数的能力而受到广泛关注。为了克服控制系统中未知函数带来的困难，许多研究采用神经网络逼近不确定函数或采用自适应模糊控制方法来达到控制目标。
3.此外，随着控制技术的不断发展，数字控制技术起着至关重要的技术。在信息进行传输时需要先经过量化处理，因此在大多数控制系统中，使用量化器产生的量化输入信号来代替连续形式的控制率是一个必不可少的过程。不可否认的是，反步法使得控制器的设计更加系统化和机构化，在解决不确定性系统问题时拥有独特的优越性。但是大多数基于反步法的方法解决了具有三角结构的严格反馈系统，而实际系统往往因其结构的复杂性而不能建模成此类系统，例如机器人控制领域的单连杆机械臂控制系统需要建模成非严格反馈系统，这给进一步研究留下了空间。
4.对于实际的工程系统，通常需要控制方法能够在系统稳定性或者收敛性方面取得对应的性能指标，这使得渐近稳定不能满足实际需求。近年来，有限时间稳定的方法成功解决了一些约束问题、时滞问题等。快速有限时间稳定控制方案具有较好的暂态性能，能够满足实际应用中控制系统的更多要求。
5.然而，如何为具有量化输入条件的非严格反馈系统设计一种能够取得快速有限时间稳定的控制策略，且在保证系统拥有良好的动态性能的同时能够尽量减少控制参数的数量以减轻计算负担，仍然没有很好的解决方案。

技术实现要素：

6.技术问题：
7.本发明主要解决的技术问题是：针对一类具有量化输入信号的控制系统，如何使用自适应控制技术设计得到能够满足系统性能指标的量化的输入信号和自适应率。值得注意的是，本发明在使用反步法进行控制器的设计时，不仅考虑了系统为非严格反馈系统而不是严格反馈系统的情况，还同时考虑了如何满足系统的快速稳定性。
8.技术方案：
9.为了解决上述的技术问题，本发明提供了一种量化输入条件下非严格反馈系统的快速有限时间控制方法，该方法包括如下步骤：
10.1.一种量化输入条件下非严格反馈系统的快速有限时间控制方法，该方法包括如下步骤：
11.s1，确定非严格反馈控制系统并选择合适的量化器q(
·
)；
12.s2，设计合适的模糊系统，并使用模糊系统核函数的特点将反步法推广到非严格反馈系统控制器设计中；
13.s3，选择合适的lyapunov函数并判断需要达到快速有限时间稳定需要满足的条件；
14.s4，基于步骤s1，s2和s3，结合反步法、模糊控制技术和非线性分解方法进行控制器设计；
15.s5，稳定性分析，证明系统满足快速有限时间稳定条件。
16.进一步地，所述步骤s1包括以下内容：
17.针对机器人控制领域中的单连杆机械臂控制系统，在考虑施加量化输入的条件下进行建模，得到的动力学模型为：
[0018][0019]
其中，x1，x2，x3为系统的状态变量，y为系统输出，n为惯性系数，g为摩擦系数，f为接缝处的粘滞摩擦系数，lh为电枢电感，km为反电势系数，rm为电枢电阻，q(u)为量化的输入信号。
[0020]
进一步地，所述步骤s2具体包含以下内容：
[0021]
(1)使用模糊系统对未知函数的逼近能力处理控制系统中的非线性项，选取高斯函数作为模糊系统的基函数：
[0022][0023]
其中χ为基向量，cj为感受野的中心，wj为基函数的宽度。
[0024]
(2)由于非严格反馈系统不是具有三角结构的系统，所以传统的反步法无法直接用于此类系统中，为了解决这一问题，本方法发现并利用了高斯基函数的特点，构造出的模糊系统具有如下特性：
[0025]
针对设计的模糊系统，选书选择基函数的中点为ci＝[c
i1
，...，c
im
]
t
，i＝[1，2，...，m]。
[0026]
由以上条件可知：
[0027][0028][0029]
其中p和q均为正的常数，当二者满足条件p＜q时，可以得到如下结论：
[0030]
[0031]
进一步地，所述步骤s3具体包含以下内容：
[0032]
(1)考虑到本方法使用反步法进行控制器的设计，因此需要对反步法中的每一步设计lyapunov函数，此处采用自适应控制的策略，对于一个n阶系统，得到最终的lyapunov函数如公式(1.7)所示：
[0033][0034][0035]
其中vi(x)为第i步的lyapunov函数，v(x)为最终的lyapunov函数，为估计误差，σ1和μi均为正常数，zi为误差变量，可以表达为：
[0036][0037]
(2)对于非线性系统，定义lyapunov函数为v(x)，选取一些合适的标量为m1＞0，m2＞0，和1＞τ＞0。若该系统满足快速有限时间稳定的条件，则需要满足：
[0038][0039]
此时，对于一个在开区间(0，m2)的常数∈，存在一个设定时间t，当时间t满足t≥t时，有：
[0040][0041]
初始时间为t0时，时间t可以由下式计算得到：
[0042][0043]
进一步地，所述步骤s4具体包含以下内容：
[0044]
(1)对于如公式(1.12)所示的n阶非线性控制系统使用反步法设计控制率和自适应率，
[0045][0046]
其中，i＝2，3，...，n-1，函数和为两个未知的光滑函数，y∈r为系统输出，q(u)为量化的输入信号。
[0047]
考虑到量化输入信号的影响，在设计控制器时先完成反步法中的前n-1步，之后再对量化输入信号进行分解处理，完成第n步的设计。
[0048]
(2)虚拟控制率和自适应率的设计(前n-1步)：
[0049]
针对本方法讨论的通用模型(1.12)，考虑步骤s2中涉及的模糊系统和步骤s3中涉及的稳定性准则，设计虚拟控制率和自适应率。
[0050]
使用模糊系统处理非线性项，可得：
[0051][0052]
其中，为模糊系统得输出，进一步计算可得：
[0053][0054]
虚拟控制器和自适应率为：
[0055][0056]
其中主要参数分别满足gi＞0，ki＞0，1＞γ＞0和δi＞0。
[0057]
(3)实际控制率和自适应率的设计(第n步)：
[0058]
采用与s4中的前n-1步设计类似的步骤，在进行相应计算的同时考虑使用非线性分解的方法处理量化的输入信号，可以计算得到：
[0059][0060]
实际控制器u(t)和自适应率为：
[0061][0062]
其中，gn＞0，kn＞0，1＞γ＞0和δn＞0。
[0063]
进一步地，所述步骤s5具体包含以下内容：
[0064]
(1)根据权利要求1中的步骤s3涉及的内容，结合利要求1中的步骤s4中的内容可以计算得到：
[0065][0066]
其中a＝min{ai}，b＝min{bi}，-ai＝max{-2kiψ0，-μi(1-γ)}，γ)}，γ)}，
[0067]
(2)设定时间可以由公式(1.11)计算得出，且在时间满足t≥t时，本方法的跟踪误差可以通过调整参数的方式收敛到一个趋近0的区间。跟踪误差的计算公式如下所示：
[0068][0069]
其中0＜β＜1。
[0070]
有益效果：
[0071]
与严格反馈控制系统中的具有三角结构的系统不同，本发明的研究对象是非严格反馈系统，此类系统能够更具体地描述实际应用系统。然而这类系统因为结构的复杂性导致无法充分利用先验知识，因此无法直接使用反步法进行控制器设计。本发明巧妙地使用模糊系统对非线性项进行逼近处理，使反步法可以解决非严格反馈系统控制器设计问题。此外，本发明考虑了实际系统的量化输入，对输入信号进行分解处理，并设计了一种形式简洁，易于实现，对参数变化不敏感的自适应快速有限时间控制策略。本方法可以保证系统中所有变量的有界性，确保系统的跟踪误差在一个趋近于0的区间内。
附图说明
[0072]
为了更清楚的说明本发明的技术方案和在实施实例上取得的效果，下面将对本发明的技术方案和实施实例以附图的形式进行介绍。图2和图3均为在系统(2.1)上获得的结果；图4-图8为在系统(2.2)上获得的结果。此处展示的附图包括：
[0073]
图1为本发明的系统结构图；
[0074]
图2为本发明与传统有限时间方法的跟踪效果对比图(图例中输出1为本发明的输出结果，输出2传统有限时间方法的输出结果)；
[0075]
图3为本发明与传统有限时间方法的跟踪误差对比图(图例中误差1为本发明的跟踪误差，输误差2传统有限时间方法的跟踪误差)；
[0076]
图4为系统(2.2)的输出效果图；
[0077]
图5为系统(2.2)的跟踪的误差；
[0078]
图6为系统(2.2)的状态x2和x3的轨迹；
[0079]
图7为系统(2.2)的自适应率θ1、θ2和θ3的变化情况；
[0080]
图8为系统(2.2)的控制率u和量化输入信号q(u)的图像。
具体实施方式
[0081]
为了更清楚地说明本发明中的技术方案，以下内容结合附图1对本发明进行描述。所举实例只用于解释本发明，并非用于限定本发明的范围。基于本发明中的实施例，其他人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的其他案例，都属于本发明保护的范围。
[0082]
根据图1，实施本发明提出的一种量化输入条件下非严格反馈系统的快速有限时间控制方法主要包括以下步骤：
[0083]
s1，确定非严格反馈控制系统并选择合适的量化器q(
·
)；
[0084]
s2，设计合适的模糊系统，并使用模糊系统核函数的特点将反步法推广到非严格反馈系统控制器设计中；
[0085]
s3，选择合适的lyapunov函数并判断需要达到快速有限时间稳定需要满足的条件；
[0086]
s4，基于步骤s1，s2和s3，结合反步法、模糊控制技术和非线性分解方法进行控制器设计；
[0087]
s5，稳定性分析，证明系统满足快速有限时间稳定条件。
[0088]
具体地，所述步骤s1包括以下内容：
[0089]
对于一类量化输入条件下的非严格反馈系统，其模型可以是：
[0090][0091]
针对机器人控制领域中的单连杆机械臂控制系统，在考虑施加量化输入的条件下进行建模，得到的动力学模型为：
[0092][0093]
其中，x1，x2，x3为系统的状态变量，y为系统输出，n＝1kg
·
m2为惯性系数，g＝2为摩擦系数，f＝1n
·m·
s/rad为接缝处的粘滞摩擦系数，lh＝1h为电枢电感，km＝2n
·
m/a为反电势系数，rm＝1ω为电枢电阻，q(u)为量化的输入信号。
[0094]
选取的量化器q(
·
)为：
[0095][0096]
其中u
min
为根据系统的需求而设定的值，ui＝ω
(1-i)umin
，u
min
＞0(i＝1，2，...)，1＞ω＞0且ε＝(1-ω)/(1+ω)。
[0097]
具体地，所述步骤s2具体包含以下内容：
[0098]
(1)使用模糊系统对未知函数的逼近能力处理控制系统中的非线性项，选取高斯函数作为模糊系统的基函数：
[0099][0100]
其中χ为基向量，cj为感受野的中心，wj为基函数的宽度。
[0101]
(2)由于非严格反馈系统不是具有三角结构的系统，所以传统的反步法无法直接用于此类系统中，为了解决这一问题，本方法发现并利用了高斯基函数的特点，构造出的模糊系统具有如下特性：
[0102]
针对设计的模糊系统，选取选择基函数的中点为ci＝[c
i1
，...，c
im
]
t
，i＝[1，2，...，m]。
[0103]
由以上条件可知：
[0104][0105][0106]
其中p和q均为正的常数，当二者满足条件p＜q时，可以得到如下结论：
[0107][0108]
具体地，所述步骤s3具体包含以下内容：
[0109]
(1)考虑到本方法使用反步法进行控制器的设计，因此需要对反步法中的每一步设计lyapunov函数，此处采用自适应控制的策略，对于一个n阶系统，得到最终的lyapunov函数如公式(2.9)所示：
[0110][0111][0112]
其中vi(x)为第i(0≤i≤n-1)步的lyapunov函数，v(x)为最终的lyapunov函数，为估计误差，σ1和μi均为正常数，zi为误差变量，可以表达为：
[0113][0114]
(2)对于非线性系统，定义lyapunov函数为v(x)，选取一些合适的标量为m1＞0，m2＞0，和1＞τ＞0。若该系统满足快速有限时间稳定的条件，则需要满足：
[0115][0116]
此时，对于一个在开区间(0，m2)的常数∈，存在一个设定时间t，当时间t满足t≥t时，有：
[0117][0118]
初始时间为t0时，时间t可以由下式计算得到：
[0119][0120]
具体地，所述步骤s4具体包含以下内容：
[0121]
(1)对于如公式(2.14)所示的n阶非线性控制系统使用反步法设计控制率和自适应率，
[0122][0123]
其中，i＝2,3，...，n-1，函数和为两个未知的光滑函数，y∈r为系统输出，q(u)为量化的输入信号。
[0124]
考虑到量化输入信号的影响，在设计控制器时先完成反步法中的前n-1步，之后再对量化输入信号进行分解处理，完成第n步的设计。
[0125]
(2)虚拟控制率和自适应率的设计(前n-1步)：
[0126]
针对本方法讨论的通用模型(2.14)，考虑步骤s2中涉及的模糊系统和步骤s3中涉及的稳定性准则，设计虚拟控制率和自适应率。
[0127]
根据反步法的设计过程，经过计算可以得到：
[0128][0129]
值得注意的是，在第i步时，虚拟控制率的导数可以表达为：
[0130][0131]
进一步地，经过计算可得：
[0132][0133]
其中，
[0134]
使用模糊系统处理非线性项可得：
[0135][0136]
其中，为模糊系统得输出，进一步计算可得：
[0137][0138]
虚拟控制器和自适应率为：
[0139][0140]
其中主要参数分别满足gi＞0，ki＞0，1＞γ＞0和δi＞0。
[0141]
(3)实际控制率和自适应率的设计(第n步)：
[0142]
针对本发明采用的控制器，选择的非线性分解为：
[0143]
q(u(t))＝β(u)u(t)+λ(t)，(2.21)
[0144]
其中，1-ε≤β(u)≤1+ε，λ(t)|≤u
min
。
[0145]
采用与s4中的前n-1步设计类似的步骤，在进行相应计算的同时考虑使用非线性分解的方法处理量化的输入信号，可以计算得到：
[0146][0147]
实际控制器u(t)和自适应率为：
[0148][0149]
其中，gn＞0，kn＞0，1＞γ＞0和δn＞0。
[0150]
具体地，所述步骤s5具体包含以下内容：
[0151]
(1)根据权利要求1中的步骤s3涉及的内容，结合利要求1中的步骤s4中的内容可以计算得到：
[0152][0153]
其中a＝min{ai}，b＝min{bi}，-ai＝max{-2kiψ0，-μi(1-γ)}，γ)}，γ)}，
[0154]
(2)设定时间可以由公式(2.13)计算得出，且在时间满足t≥t时，本方法的跟踪误差可以通过调整参数的方式收敛到一个趋近0的区间。跟踪误差的计算公式如下所示：
[0155][0156]
其中0＜β＜1。
[0157]
仿真实验：
[0158]
为了验证本发明提出的控制方案的有效性，分别针对系统(2.1)和(2.2)进行仿真实验，该仿真实验部分主要由两部分组成。
[0159]
1.对比实验。
[0160]
针对系统(2.1)，分别根据本发明中的公式(2.20)和(2.22)和有限时间控制方法设计控制器和自适应率并对仿真结果进行比较。在实验中，量化器的主要参数设置为ε＝
0.1，u
min
＝0.1和ω＝9/11；快速有限时间控制方法中控制器的主要参数为k1＝20，k2＝12，g1＝8，g2＝10，μ1＝12，μ2＝10，γ＝79/101；有限时间控制方法中控制器的主要参数为k1＝k2＝10，g1＝g2＝1，μ1＝μ2＝7.5，σ1＝σ2＝0.05，γ＝79/101；系统的初始条件均设置为[x1(0)，x2(0)，θ1(0)，θ2(0)，u(0)]
t
＝[0.5，-0.3，0.5，-0.5，0]
t
；期望输出为yr＝exp(sin(t))；模糊系统基函数的模糊集分布在区间[-5，5]上，分界点分别为-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4和5。两种方法的对比实验结果如图2和图3所示。
[0161]
2.实际案例实现。
[0162]
针对系统(2.2)，根据本发明涉及的方法设计控制率和自适应率。在实验中控制器的主要参数为k1＝10，k2＝k3＝20，g1＝g2＝g3＝10，μ1＝μ2＝μ3＝12，γ＝99/101；期望输出为yr＝0.5sin(0.6t)；系统的初始条件设置为x1(0)＝x2(0)＝x3(0)＝0.15，θ1(0)＝θ2(0)＝θ3(0)＝0.3，u(0)＝0；量化器和模糊系统的主要参数设置与对比实验中相同。针对该单连杆机械臂控制系统的实验结果如图4-图8所示。
[0163]
本发明不仅解决了量化输入问题和非严格反馈系统如何使用反步法设计控制器的问题，还使系统拥有了不错的动态性能，拥有比有限时间控制更快的收敛速度，更小的跟踪误差。
[0164]
以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不仅限于此，其他任何没有加入实质性创新的变化或者替换都应涵盖在本发明的保护范围，因此，本发明的具体保护范围应当以权利要求的保护范围为准。

技术特征：

1.一种量化输入条件下非严格反馈系统的快速有限时间控制方法，其特征在于，包括如下步骤：s1，确定非严格反馈控制系统并选择合适的量化器q(
·
)；s2，设计合适的模糊系统，并使用模糊系统基函数的特点将反步法推广到非严格反馈系统的控制器的设计；s3，选择合适的lyapunov函数并判断需要达到快速有限时间稳定需要满足的条件；s4，基于步骤s1，s2和s3，结合反步法、模糊控制技术和非线性分解方法进行控制器设计；s5，稳定性分析，证明系统满足快速有限时间稳定条件。2.根据权利要求1所述的量化输入条件下非严格反馈系统的快速有限时间控制方法，其特征在于，所述步骤s1包括以下内容：针对机器人控制领域中的单连杆机械臂控制系统，在考虑施加量化输入的条件下进行建模，得到的动力学模型为：其中，x1，x2，x3为系统的状态变量，y为系统输出，n为惯性系数，g为摩擦系数，f为接缝处的粘滞摩擦系数，l
h
为电枢电感，k
m
为反电势系数，r
m
为电枢电阻，q(u)为量化的输入信号。3.根据权利要求1所述的量化输入条件下非严格反馈系统的快速有限时间控制方法，其特征在于，所述步骤s2具体包含以下内容：(1)使用模糊系统对未知函数的逼近能力处理控制系统中的非线性项，选取高斯函数作为模糊系统的基函数：其中χ为基向量，c
j
为感受野的中心，w
j
为基函数的宽度；(2)由于非严格反馈系统不是具有三角结构的系统，难以充分利用系统信息，所以传统的反步法无法直接用于此类系统中，为了解决这一问题，本方法发现并利用了高斯基函数的特点，构造出的模糊系统具有如下特性：针对设计的模糊系统，选取选择基函数的中点为c
i
＝[c
i1
，...，c
im
]
t
，i＝[1，2，...，m]；由以上条件能知：
经过进一步计算，能得到如下结论：其中p和q均为正的常数，二者满足条件p＜q。4.根据权利要求1所述的量化输入条件下非严格反馈系统的快速有限时间控制方法，其特征在于，所述步骤s3包含以下内容：(1)考虑到本方法使用反步法进行控制器的设计，因此需要对反步法中的每一步设计lyapunov函数，此处采用自适应控制的策略，对于一个n阶系统，得到最终的lyapunov函数如公式(7)所示：如公式(7)所示：其中v
i
(x)为第i步的lyapunov函数，v(x)为最终的lyapunov函数，为估计误差，σ1和μ
i
均为正常数，z
i
为误差变量，能表达为：(2)对于非线性系统，定义lyapunov函数为v(x)，选取一些合适的标量为m1＞0，m2＞0，和1＞τ＞0；若该系统满足快速有限时间稳定的条件，则需要满足：此时，对于一个在开区间(0，m2)的常数∈，存在一个设定时间t，当时间t满足t≥t时，有：时间t能由下式计算得到：其中t0为初始时间。5.根据权利要求1所述的量化输入条件下非严格反馈系统的快速有限时间控制方法，其特征在于，所述步骤s4在设计控制率和自适应率时包含以下处理方式：(1)对于如公式(12)所示的n阶非线性控制系统使用反步法设计控制率和自适应率，
其中，i＝2，3，...，n-1，函数和为两个未知的光滑函数，y∈r为系统输出，q(u)为量化的输入信号；考虑到量化输入信号的影响，在设计控制器时先完成反步法中的前n-1步，之后再对量化输入信号进行分解处理，完成第n步的设计；(2)虚拟控制率和自适应率的设计，前n-1步：针对本方法讨论的通用模型(12)，考虑步骤s2中涉及的模糊系统和步骤s3中涉及的稳定性准则，设计虚拟控制率和自适应率；使用模糊系统处理非线性项，能得：其中，为模糊系统得输出，进一步计算能得：虚拟控制器和自适应率为：其中参数分别满足g
i
＞0，k
i
＞0，1＞γ＞0和δ
i
＞0；(3)实际控制率和自适应率的设计，第n步：采用与s4中的前n-1步设计类似的步骤，在进行相应计算的同时考虑使用非线性分解的方法处理量化的输入信号，能计算得到：实际控制器u(t)和自适应率为：其中，g
n
＞0，k
n
＞0，1＞γ＞0和δ
n
＞0。6.根据权利要求1所述的量化输入条件下非严格反馈系统的快速有限时间控制方法，其特征在于，所述步骤s5包含以下内容：(1)根据权利要求1中的步骤s3涉及的内容，结合利要求1中的步骤s4中的内容能计算得到：
其中a＝min{a
i
}，b＝min{b
i
}，-a
i
＝max{-2k
i
ψ0，-μ
i
(1-γ)}，γ)}，(2)设定时间能由公式(11)计算得出，且在时间满足t≥t时，本方法的跟踪误差能通过调整参数的方式收敛到一个趋近0的区间；跟踪误差的计算公式如下所示：其中0＜β＜1。

技术总结

本发明涉及一种量化输入条件下非严格反馈系统的快速有限时间控制方法，属于控制工程技术领域。本控制方法包括：S1，确定非严格反馈控制系统并选择合适的量化器Q(

技术研发人员：

谢利萍 张壹浩 魏海坤 张侃健

受保护的技术使用者：

东南大学

技术研发日：

2022.11.23

技术公布日：

2023/3/24