一种计算多体量子态多体可分离性最小白噪声的方法

本发明涉及量子信息处理领域，提出了一种计算多体量子态多体可分离性最小白噪声的方法，该方法能到特定量子纠缠态的最小白噪声容限；采用迭代计算必要性和构造充分性相互验证的方法来展开研究，不仅能对研究中出现的大量参数和角度进行合理归纳，而且运用了几何空间的知识和可视化作图来辅助分析量子态的纠缠与可分离情况。计算结果表明，在选定的四量子比特Dicke态和白噪声的混合态实施例中，三体可分离的必要条件几乎和充分条件重合，从而验证了该发明方法的有效性。

量子信息是量子物理和信息学科相结合的产物，同时也是当今世界上最热门的科学研究领域之一。我国在量子通信与量子计算的某些领域已经达到了世界领先的水平，量子信息处理与量子计算受到越来越多科研人员的关注。量子纠缠被认为是量子力学最根本的特性，在信息和通信领域有着重要作用，是量子信息中最重要的资源之一。因此量子纠缠的研究不仅具有深刻的理论意义，而且具有重要的实际应用价值。但是量子纠缠态在使用过程中往往为噪声(最简单的是白噪声)所破坏，量子纠缠态加上一定程度的噪声会使量子纠缠态变成可分离，也就会使量子纠缠态丧失掉量子纠缠特性，因此关于量子纠缠的研究很重要的一点就是：本发明需要到特定量子纠缠态的最小白噪声容限。此外，因为量子纠缠中主要涉及到的都是多量子比特纠缠，其中Dicke态不仅非常容易受到白噪声的影响，同时也是量子计算和量子通信中最常见的量子纠缠态之一[1][2][3]，所以本发明选择四量子比特Dicke态的三体可分离性作为实施例计算最小白噪声容限来详细说明本发明的可行性。

现有技术只是对于两量子比特可分离的研究，基本已经很深入也有了相当不错的纠缠判定准则，如部分转置判据(PPT)[4]、重排判据(CCNR)[5]、协方差矩阵判据(CM)[6]、Bell不等式[7]等；而对于多量子比特纠缠态，像W态、Dicke态等，还没有被完整系统地研究过，更没有统一的准则去判定给定的量子态是否为纠缠；因此，对于多量子比特纠缠态的研究很有必要，而本发明就是专门针对于高维量子系统的纠缠与可分离进行研究的，与现有技术相比，本发明不仅能处理高维量子系统的纠缠与可分离，而且丰富了量子纠缠与可分离的研究方法。

参考文献

[1]Kiesel N,Schmid C,Tóth G,et al.Experimental observation of four-photon entangled Dicke state with high fidelity[J].Physical Review Letters,2007,98(6):063604.

[2]Eibl M,Kiesel N,Bourennane M,et al.Experimental realization of athree-qubit entangled W state[J].Physical Review Letters,2004,92(7):077901.

[3]Wieczorek W,Schmid C,Kiesel N,et al.Experimental observation of anentire family of four-photon entangled states[J].Physical Review Letters,2008,101(1):010503.

[4]Dür W,Cirac J I,Lewenstein M,et al.Distillability and partialtransposition in bipartite systems[J].Physical Review A,2000,61(6):276-282.

[5]Guo Y,Hou J.Realignment Operation and CCNR Criterion ofSeparability for States in Infinite-Dimensional Quantum Systems[J].Reports onMathematical Physics,2013,72(1):25-40.

[6]Chen K,Wu L A.A matrix realignment method for recognizingentanglement[J].Quantum Information&Computation,2002,3(3):193-202.

[7]Aspect A,Grangier P,Roger G.Experimental Tests of Realistic LocalTheories via Bell's Theorem[J].Physical Review Letters,1981,47(7):460-463.

本发明提出一种计算多体量子态多体可分离性最小白噪声的方法，相比于同类发明，本发明不仅对于给定的任意一个多量子比特纠缠态，能到该量子态多体纠缠的最小白噪声容限，而且能控制必要性和充分性在指定的阈值范围内，主要包括以下几个步骤：

1、到最优纠缠见证者计算特性函数Rijkl并按照角标轮换Mijk值不变性原则来初始化张量由于在步骤2中求Lmin(nece)时还会除以因此，Mijk的值只需要取值在Mijk∈[0,1]即可；是关于θi和角度和Mijk元素的函数，本发明对每个角度每隔10度来迭代计算Λ的值(具体隔多少角度来迭代计算需要根据电脑配置来定，因为迭代计算非常耗费CPU资源)；

2、到匹配纠缠见证者和最小白噪声容限的必要性Lmin(nece)：在得到了Λ的最大值后，只需要根据来计算Lmin即可，并且小幅度改变的每个元素也就是跳到步骤1来调整并重新计算步骤2；如此循环计算Lmin，直到Lmin不能再变小为止所对应的Lmin即为最小白噪声容限的必要性Lmin(nece)；

3、构造最小白噪声容限的充分性Lmin(suff)：

S1)到θi和角度之间的规律，当用“到的角度规律”替换“每个角度的迭代计算”可以保持Lmin(nece)一致，则该到的角度规律成立；

S2)求出每种角度规律下的多体可分离在所有分区上轮换平均后的密度矩阵ρfinally；

S3)对每个角度规律下密度矩阵ρfinally中矩阵元素的变化来可视化作图，以一个角度规律为横轴，各元素系数为纵轴，画出二维曲线图；

S4)设定Lmin(nece)和Lmin(suff)的最大阈值为τ，结合所有曲线图最大程度地保留需要的矩阵元素的同时消除“毛刺”矩阵元素，并求出构造出带有白噪声容限的纠缠量子态中的p，此时的p即为最小白噪声容限的充分性Lmin(suff)；

4、判断步骤2的计算最小白噪声容限的必要性Lmin(nece)和步骤3构造最小白噪声容限的充分性Lmin(suff)的差值△是否在可以接受的阈值τ之内，如果是，则到了该量子态的多体最小白噪声容限，整个步骤结束；如果不是，则需要从步骤1重新开始迭代计算。

图1是|D4,2〉态构造充分性流程图。

图2是|D4,2＞态构造出密度矩阵通式。

图3是|D4,2〉态角度规律为θ1＝θ2,时的各系数曲线图。

图4是|D4,2〉态角度规律为θ1＝θ2,时的各系数曲线图。

图5是|D4,2〉态角度规律为θ1＝π-θ2,时的各系数曲线图。

图6是|D4,2＞态角度规律为θ1＝π-θ2,时的各系数曲线图。

图7是|D4,2＞态角度规律为θ1＝θ2,时的各系数曲线分析图。

图8是|D4,2＞态角度θa和θb满足条件的散点图。

图9是|D4,2＞态角度θa和θb构造的密度矩阵ρab。

图10是|D4,2>态角度θc和θd满足条件的散点图。

图11是|D4,2>态角度θc和θd构成的密度矩阵ρcd。

图12是|D4,2>态角度θa和θb和θc和θd构成的密度矩阵ρabcd。

图13是|D4,2>态角度θa和θb和θc和θd构成的归一化后的密度矩阵ρfinally。

图14是|W4>和|D4,2>混合态必要性和充分性曲线拟合图。

具体实施方式和实施例

下面本发明结合具体的实施例来对本发明的具体步骤和技术方案做进一步阐述。

1四量子比特Dicke态三体分离性

S1)四量子比特Dicke态三体分离性必要性研究

步骤1～2都是在MATLAB程序中可以实现，因此本发明可以将步骤1～2放在一起研究，首先，本发明给出四量子比特Dicke态的数学定义：

并根据特性函数公式先求出|D4,2>态的特性函数Rijkl，如表1：

表1 Dicke态的特性函数

本发明以分区|1|2|34|为例来说明它的三可分离的情况，先求出如下：

A＝M10*(2*Z1+2*Z2+Z1*Z2+1)+M1*(Z1+Z2+2)+M8*(Z1+Z2+2*Z1*Z2)+M2*X1*X2+2*M4*X1*X2+M6*X1*X2+M3*Y1*Y2+2*M5*Y1*Y2+M7*Y1*Y2+M9*Z1*Z2

B＝M6*(X1*Z2+X2*Z1)-M7*(Y1*Z2*i+Y2*Z1*i)-M3*(Y1*i+Y2*i)-M5*(Y1*i+Y2*i+Y1*Z2*i+Y2*Z1*i)+M2*(X1+X2)+M4*(X1+X2+X1*Z2+X2*Z1)

C＝M2-M3-M11*(X1*X2+X1*Y2*2*i+X2*Y1*2*i-Y1*Y2)+M4*(Z1+Z2)-M5*(Z1+Z2)+M12*X1*X2-M13*Y1*Y2+M6*Z1*Z2-M7*Z1*Z2

D＝M10*(Z1*Z2-1)+M1*(Z1+Z2)-M8*(Z1+Z2)+M2*X1*X2-M6*X1*X2+M3*Y1*Y2-M7*Y1*Y2-M9*Z1*Z2

E＝M2+M3+M11*(X1*X2+Y1*Y2)+M4*(Z1+Z2)+M5*(Z1+Z2)+M12*X1*X2+M13*Y1*Y2+M6*Z1*Z2+M7*Z1*Z2

F＝M2*(X1+X2)+M7*(Y1*Z2*i+Y2*Z1*i)-M3*(Y1*i+Y2*i)+M5*(Y1*i+Y2*i-Y1*Z2*i-Y2*Z1*i)-M6*(X1*Z2+X2*Z1)-M4*(X1+X2-X1*Z2-X2*Z1)

G＝M1*(Z1+Z2-2)-M10*(2*Z1+2*Z2-Z1*Z2-1)+M8*(Z1+Z2-2*Z1*Z2)+M2*X1*X2-2*M4*X1*X2+M6*X1*X2+M3*Y1*Y2-2*M5*Y1*Y2+M7*Y1*Y2+M9*Z1*Z2

其中，M1～M13为需要选择的13个变量，与特性函数一一对应，还有4个角度组成的Bloch表象：

现在合理选择Mijkl，并迭代出的最大特征值Λ和最小白噪声容限Lmin，当得到了最大的Λ，就相当于到了最优纠缠见证者；当得到了最小的Lmin，相当于到了匹配纠缠见证者。因此步骤1～2只要编程实现即可，得到最后结果如表2：

表2 Dicke态非零Mijkl

各Mijkl的变量关系满足：

且经过计算发现矩阵的最大特征值对应的特征向量满足：

且各系数之间满足归一化：α2+2β2+γ2＝1.最大可实现均值Λmax＝1.8864，最小白噪声的必要性Lmin(nece)＝0.2009，这样结合Λmax和Mijkl就能得到最优纠缠见证者，结合Lmin(nece)和Mijkl就能得到匹配纠缠见证者。

S2)四量子比特Dicke态三体分离性充分性研究

步骤3～4，构造最小白噪声容限的充分性，并比较必要性和充分性的差值是否在阈值内；从图1中可以看出，只有在已经得到了必要性的结果之上，才能够进行充分性的构造，下面就结合流程图来详细说明如何构造充分性。

在程序中迭代中本发明发现，公式(3)中的4个Bloch角度有满足下的规律：

接下来就要合理地利用这四种角度来构造ρ'，由于角度规律都相似，本发明还是在分区|1|2|34|下的公式(6)中的第一种角度规律来分析：

第一种角度的情况：θ1＝θ2＝θ,

假设：

|ψ>34＝α|00>+β(|01>+|10>)+γ|11>,则|ψ>＝|ψ>1|ψ>2|ψ>34，本发明要先对|ψ>34进行酉变换：这样本发明先把

|ψ>＝|ψ>1|ψ>2|ψ>34求出来：

现在先求出ρ＝|ψ><|ψ|，为了方便计算，先简化|ψ>：

其中，

接下来需要对所有的角度求平均值，由于是连续分布的，因此需要计算积分才能得到结果

最后本发明再平均个分区后的量子态为：

其余的三种角度规律构造的最后密度矩阵也是类似，在此不再赘述。

通过MATLAB数学工具，本发明画出最后求到的ρfinally，由于每种角度规律得到的ρfinally都形状类似，所以本发明直接给出通式，见图2；其中，同种颜的矩阵元是相同的，而|D4,2>态构造出来的密度矩阵只会出现在矩阵下标‘3’、‘5’、‘6’、‘9’、‘10’、‘12’的元素，其中处于反对角的元素与非反对角元素不同，而白噪声只会出现在主对角线，所以需要保留绿和黑，黄的部分，红和蓝现在属于毛刺项，因此本发明需要使得应该出现的元素存在，而使毛刺项为零。接下来的先推导出构成ρfinally密度矩阵的各项矩阵元的通式：

ID0＝|0000><· (12)

ID1＝|0001><·+0010><·+0100><·+1000><· (13)

ID3＝|0111><·+1011><·+1101><·+1110><· (15)

ID4＝|1111><· (16)

C0＝ρfinally(0,0) (25)

C4＝ρfinally(15,15) (29)

这样就把上述的ρfinally拆分成了各种分量的“系数”和“密度矩阵”相乘的形式，现画出ρfinally的各项系数随θ变化的曲线图，见图3；其中，x轴为θ(本发明将其θ的变换范围拓展至0≤θ≤360，为的就是观察系数是否关于θ有良好的对称性)，y轴为各系数，并且为了直观展示系数的变换，本发明将曲线图中各系数曲线的颜与图2的密度矩阵通式ρfinally中矩阵元的颜保持一致(其余各曲线图说明也是类似，在此不再赘述)。

其中，(绿),(红),(黑),(蓝)，从上述四种角度规律关系图中，本发明应该综合分析，本发明要得到最后结果应该注意以下两点：

(1)消除和使

(2)令且尽可能大；

第一步，从图3中可以看出CW4和CW4在θ∈(0,77)∪(102,180)时，互为异号，这样本发明就可以选择合适的两组角度使得消除CW4和CW4，本发明选择θa∈(0,77),θb∈(102,180)，如图7；其中的紫线为辅助线，从图中分析可知：

由θa构造密度矩阵ρa：

由θb构造密度矩阵ρb：

由ρa和ρb一起构造密度矩阵：

ρ＝pρa+(1-p)ρb (32)

带入上述ρa和ρb化简如下：

欲使得前的系数等于零：

则的系数变成了：

若要的系数也等于零则要求：

A1B2-B1A2＝0 (36)

经过MATLAB编程出所有满足等式的θa和θb，并画出散点图，如图8；其中，x轴为θa，y轴为θb，从图8可以看出，满足公式(36)的散点有很多，所以需要MATLAB编程出最优的散点，并求出最后结果为θa＝54和θb＝108，且p＝0.4，经过这两点混合后的密度矩阵ρab如图9；从图9可以看到，只保留了主对角线和属于ρD4,2的元素，剩余的元素都接近于零，但是和的元素值并不相等；

第二步：令从图4中可以看到始终为零，因此该角度规律不能使用，本发明从图5和图6中都可以看到和几乎都相等，而且在两幅图中和互为异号。这样就可以在图5中选择一个角度θc，再在图6中选择一个角度θd，并让两个角度构造出来的密度矩阵相加，条件是让图5中的和等于图6中的和的相反数，并画出所有满足条件的散点图，如图10；其中，x轴为θc，y轴为θd，图10中的散点可以看到有非常好的对称性，原因就在于图5和图6中的曲线就已经对称了，因此只要看一半的散点图就行了，经过MATLAB编程可知，选择θc＝70,θd＝28来构造密度矩阵ρcd效果最佳，如图11；现将ρab和ρcd按概率p混合，如下：

ρabcd＝pρab+(1-p)ρcd (37)

现调节p使得ρabcd的本发明假设：

到这里本发明将ρabcd写成密度矩阵的形式，如图12；最后，本发明要将图12密度矩阵做适当的改变，写成如下的形式：

经过分析可知：

x＝max(ρabcd(3,3)-ρabcd(3,5),除了ρabcd(3,3)以外的主对角线其他元素)

x＝ρabcd(3,3)-ρabcd(3,5)＝0.08895

本发明将ρfinally写成归一化后的密度矩阵，如图13；该密度据的最小白噪声容限：

因此本发明得到结果：

至此，|D4,2〉态三体可分离性的最小白噪声容限的充分性为Lmin(suff)＝0.1940，必要性为Lmin(nece)＝0.2009已经非常相近，也可以由此确定|D4,2〉态的最小白噪声容限的范围是：0.1940

2四量子比特混合态的三体分离性研究

此外，为了更进一步验证本发明提出的研究方法的可行性，本发明还对|W4〉和|D4,2〉混合态的三体可分离性的研究，一共涉及89个混合态和2个纯态，由于每个混合态的研究方法和D4,2〉态类似，因此本发明直接给出最后的研究结果，如图14；其中，横轴为纵轴为从图14的两个端点可以看出，与横轴相交的两个单点就是|W4〉态的最小白噪声容限的必要性(蓝)和充分性(红)；与纵轴相交的单点就是|D4,2〉态的最小白噪声容限的必要性(蓝)和充分性(红)；其余的散点都是|W4>态和|D4,2>态以Θ角度混合后的结果。其中蓝线为混合态必要性的拟合曲线，红线为混合态充分性的拟合曲线，结果表明：

(1)必要性曲线(蓝)为光滑的凸曲线，即在任意的一点上做曲线的切线，那么该曲线一定会在切线的同一侧，这也满足混合态的可分离集合为凸集的原则；

(2)充分性曲线(红)在必要性曲线的内侧，即每个角度下的充分性一定小于必要性；

(3)虽然在迭代计算必要性和构造充分性时本发明指定了一个很小的阈值来相互验证正确性，但是将数据直观地展现在图中还是可以发现，难免由计算而导致必要性和充分性之间有误差，但是也在接受的误差范围之内；

(4)直观上来说，在任意一个角度Θ下，若加入该量子态的白噪声大于蓝线所处位置，那么该量子态为可分离；若加入该量子态的白噪声小于红线所处位置，那么该量子态为纠缠；至于加入该量子态的白噪声处于红线和蓝线之间的噪声，处于未知状态；

至此，通过W态和Dicke态混合态的三体可分离性的研究，可以验证本发明对于多量子比特的多体研究(以Dicke态为例)是完全可行的，同时也在实例上得出了相对好的结果。

总结

本发明提出了一种计算多体量子态多体可分离性最小白噪声的方法，并通过了一个具体的实施例来说明本发明的可行性。本发明在结合纠缠见证者的研究方法下，对研究中出现的大量参数和角度进行合理的归纳，从而极大的简化了运算；并采用迭代计算必要性与构造充分性相结合的方式来推导，可以相互验证研究成果的正确性；运用几何空间的知识和可视化作图来辅助分析量子态的纠缠与可分离情况，这不仅丰富了对量子态纠缠研究的方法，还对选定的四量子比特Dicke态和白噪声的混合态实施例中，三体可分离的必要条件几乎和充分条件重合，从而验证了该发明方法的有效性。