1．“三个二次”的关系
判别式Δ＝b2－4ac | Δ>0 | Δ＝0 | Δ<0 |
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 | | | |
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 | 有两个相异实根x1，x2(x1<x2) | 有两个相等实根x1＝x2＝－ | 没有实数根 |
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 | (－∞，x1)∪(x2，＋∞) | (－∞，－)∪(－，＋∞) | R |
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 | (x1，x2) | ∅ | ∅ |
| | | |
2.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法
不等式 | 解集 |
a<b | a＝b | a>b |
(x－a)·(x－b)>0 | {x|x<a或x>b} | {x|x≠a} | {x|x<b或x>a} |
(x－a) (x－b)<0 | {x|a<x<b} | ∅ | {x|b<x<a} |
| | | |
口诀：大于取两边，小于取中间．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( √ )
(2)不等式≤0的解集是[－1,2]．( × )
(3)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( √ )
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )
(5)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( × ) 1．(教材改编)不等式x2－3x－10>0的解集是________．
答案 (－∞，－2)∪(5，＋∞)
解析 解方程x2－3x－10＝0得x1＝－2，x2＝5，
由y＝x2－3x－10的开口向上，所以x2－3x－10>0的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞)．
2．设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝________.
答案 [0,4)
解析 ∵M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1<x<4}，
∴M∩N＝[0,4)．
3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是________________．
答案 (2,3)
解析 由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－＋＝，－×＝－.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a<0即为x2－5x＋6<0，解集为(2,3)． 4．(教材改编)若关于x的不等式m(x－1)>x2－x的解集为{x|1<x<2}，则实数m的值为________．
答案 2
解析 因为m(x－1)>x2－x的解集为{x|1<x<2}．
所以1,2一定是m(x－1)＝x2－x的解，∴m＝2.
5．(教材改编)若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________．
答案 (－1,1)
解析 由题意可知，Δ>0且x1x2＝a2－1<0，故－1<a<1.
题型一 一元二次不等式的求解
命题点1 不含参的不等式
例1 求不等式－2x2＋x＋3<0的解集．
解 化－2x2＋x＋3<0为2x2－x－3>0，
解方程2x2－x－3＝0得x1＝－1，x2＝，
∴不等式2x2－x－3>0的解集为(－∞，－1)∪(，＋∞)，
即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(，＋∞)．
命题点2 含参不等式
例2 解关于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a<0.
解 由x2－(a＋1)x＋a＝0得(x－a)(x－1)＝0，
∴x1＝a，x2＝1，
①当a>1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|1<x<a}，
②当a＝1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为∅，
③当a<1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|a<x<1}．
引申探究
将原不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0，求不等式的解集．
解 若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.
若a<0，原不等式等价于(x－)(x－1)>0，解得x<或x>1.
若a>0，原不等式等价于(x－)(x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，(x－)(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，解(x－)(x－1)<0得<x<1；
③当0<a<1时，>1，解(x－)(x－1)<0得1<x<.
综上所述：当a<0时，解集为{x|x<或x>1}；
当a＝0时，解集为{x|x>1}；当0<a<1时，解集为{x|1<x<}；当a＝1时，解集为∅；当a>1时，解集为{x|<x<1}．
思维升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论． (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．
解 ∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，
即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
得：x1＝－，x2＝.
①a＞0时，－＜，解集为；
②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
③a＜0时，－＞，解集为.
综上所述，当a＞0时，不等式的解集为
；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＜0时，不等式的解集为.
题型二 一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R上恒成立
例3 (1)若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________．
(2)设a为常数，∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则a的取值范围是________．
答案 (1)(－3,0) (2)[0,4)
解析 (1)2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，
则必有解之得－3<k<0.
(2)∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则必有或a＝0，∴0≤a<4.
命题点2 在给定区间上恒成立
例4 设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即
m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
方法一 令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，
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