2006—2007学年第二学期 《本科高等数学(下)》期中试卷
一、填空题(每小题5分, 共40分) 1．设向量,2,23k j i b k j i a +-=-+=则）（）（b a b a 322-⋅⨯= _______________.
2．已知向量}2,3,4{-=a ，向量u 与三个坐标轴正向构成相等的锐角，则 a 在u
轴上
的投影
等于__________________.
3．已知空间三角形三顶点),2,0,0(),0,1,2(),1,1,1(C B A -则ABC Δ的面积等于______________;
过三点的平面方程是:__________________________.
4．直线
⎩⎨
⎧=+--=-+072,0532:z y x z y L .在平面083:=++-z y x π内的投影直线方程是： ____________________________________.
5. 由曲线 ⎪⎩⎪⎨
⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周所得旋转曲面在点)2,3,0(处指向外侧
的单位法向量是____________________________.
6．设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则y z
x z ∂∂+
∂∂=__________________________.
7. 设函数)(u f 可微，且
21
)0(='f , 则)4(2
2y x f z -=在点(1,2)处的全微分 )
2,1(d z =_________________________________________.
8. 曲面 2
2
y
x z += 平行于平面 042=-+z y x 的切平面方程.是：
___________________.
二、(7分) 设平面区域D 由1,==xy x y 和2=x 所围成，若二重积分 1
d d 2
2
=⎰⎰
D y x y
Ax ，
则常数=A ____________________________. 解题过程是：
三、(8分) 设),(y x f 是连续函数，在直角坐标系下将二次积分
⎰⎰-2
2
321
0d ),(d y y x
y x f y 交
换积分次序，应是______________________________________.
解题过程是：
四、(7分) 设函数181261),,(2
22z y x z y x u +
++=，若单位向量}1,1,1{31=n ，则方向导数 )3,2,1(n
u ∂∂等于_____________________；该函数在点(1,2,3)的梯度是____________________；该函数在点(1,2,3)处方向导数的最大值等于________________.
解题过程是：
五、(8分)设函数()f u 在(0,)+∞
内具有二阶导数，且
z f
=满足等式
222
20z z
x y ∂∂+=∂∂.
（I ）验证()()0f u f u u '''+
=；
（II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式.
解题过程是：
六、(7分) 设区域{
}
22
(,)1,0
D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1D xy
x y x y +++⎰⎰
解题过程是：
七、(8分) 设空间区域Ω，是由曲线⎪
⎩⎪⎨
⎧==0,2x z y 绕oz 轴旋转一周而成的曲面与平面4,1==z z 所围成的区域，计算三重积分⎰⎰⎰
+Ω
z y x y x d d d )(22.
解题过程是：
m 3, 箱子的盖及侧面的造价为8元/m 2, 箱
子的底造价为1元/m 2
,
试求造价最低的箱子的长宽高（取米为长度单位）. 解题过程是：
九、(7分) 设函数),(y x f 在点(0,0)的某个邻域内连续，且1
)
(),(lim
2
22
20
=+-→→y x xy y x f y x ，试问点
(0,0)是不是),(y x f 的极值点？证明你的结论. 解题过程是：
A 卷
2006—2007学年第二学期
《本科高等数学(下)》期末考试试卷
一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一
项符合
题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.
1．设三向量c b a ,，满足关系式c a b a ⋅=⋅，则（ ）.
（A ）必有c b ,0 ==或者a ; （B ）必有0
===c b a ;
（C ）当0
≠a 时，必有c b =; （D ）必有)(c b a -⊥.
2. 已知
2
,
2==b a
，且2=⋅b a ，则=
⨯b a （ ）.
（A ）2 ; （B ）22; （C ）22
; （D ）1 .
3. 设曲面)0,0(:222
2>≥=++a z S a z y x ，S 1是S 在第一卦限中的部分，则有（ ）. （A ）⎰⎰⎰⎰=S S S x S x 1
d 4d ; （B ）⎰⎰⎰⎰=S S
S
x S y 1
d 4d ;
（C ）⎰⎰⎰⎰=S S
S x S z 1
d 4d ; （D ）⎰⎰⎰⎰=S S S
xyz S xyz 1d 4d . 4. 曲面6322
22=++z y x 在点)1,1,1(--处的切平面方程是：（ ）.
（A ）632=+-z y x ; （B ）632=-+z y x ; （C ）632=++z y x ; （D ）632=--z y x . 5. 判别级数∑
⋅∞
=1!
3n n
n n n 的敛散性，正确结果是：（ ）. （A ）条件收敛; （B ）发散；
（C ）绝对收敛; （D ）可能收敛，也可能发散.
6. 平面0633=--y x 的位置是（ ）.
（A ）平行于XOY 平面; （B ）平行于Z 轴，但不通过Z 轴; （C ）垂直于Z 轴 ; （D ）通过Z 轴 . 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）. 1. 已知e x y
z =，则____________________d =z
.
2. 函数zx yz xy u ++=在点)3,2,1(=P 处沿向量OP 的方向导数是____________，函数
u 在点P 处的方向导数取最大值的方向是_____________，该点处方向导数的最大值是
____________.
3. 已知曲线1:2
2=+y x L ，则⎰+=L
s y x ______
__________d )
(2
.
4. 设函数展开傅立叶级数为：∑∞
=≤≤-=
02)
(,cos n n x nx a x
ππ，则__
_________2=a .
三、解答下列各题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）.
1. 求幂级数∑∞
=+0
1n n n x 收敛域及其和函数.
解题过程是：
2. 计算二重积分⎰⎰≤++42
22
2d d y x y
x y
x e
.
解题过程是：
3. 已知函数),(y x f z =的全微分y y x x z d 2d 2d -=，并且2)1,1(=f . 求)
,(y x f z =在椭圆域}
14
|),{(2
2
≤+
=y
x y x D 上的最大值和最小值.
解题过程是：
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议