一种基于三重正交多项式的回转类声场的建模方法

1.本发明涉及一种回转类声场的建模方法，尤其是涉及一种基于三重正交多项式的回转类声场的建模方法。

背景技术：

2.随着经济和社会的不断发展，人们对振动和噪声控制的要求都越来越严格。回转类声场的特性问题作为声学中的经典问题之一，广泛存在于船舶舱室、海洋平台、运输管道和回转类建筑等军事领域和民用领域，有关其内部噪声控制的研究始终是室内声学领域关注的热点。其声场分布及声响应特性可为回转类声及噪声控制提供良好的理论依据。依据结构特点，回转类声场可分为三大类:圆柱形声场、球形声场和圆锥形声场。目前，许多学者对回转类声场的建模方法做了深入研究，zhang(zhang h,zhu r p,shi d y,et al.a unified modeling method for the rotary enclosed acoustic cavity[j].applied acoustics,2020,163:107230.)基于瑞利-里兹能量法，得到统一求解回转类声场声学特性问题的方法，该建模方法中，回转类声场的声压容许函数采用了一种改进的傅里叶级数法来构造，使用三角级数叠加，包括三个余弦函数和六个互补多项式的乘法。该声压容许函数选用多个互补的正交多项式，计算过程复杂，增加了后续编程的复杂性。许强等(许强,刘伊凡,陈跃华,张刚,冯志敏,裴春明.非对称阻抗插入管消声器的chebyshev-变分法建模与求解[j].声学学报,2021,46(04):594-604.)采用了一种半解析变分建模和求解方法，将圆柱形声场声压展开为切比雪夫-傅里叶级数组合形式，圆柱形声场的声压容许函数在半径方向及轴线方向选用切比雪夫级数来作为容许函数，在圆周方向选用具有奇偶性的傅里叶级数来表征声场的对称模态及反对称模态。该方法中，声压容许函数的正交多项式不统一，增加了计算的复杂性，使得后续编程变的比较困难。

技术实现要素：

[0003]
本发明所要解决的技术问题是提供一种计算过程简单，易于后续编程的基于三重正交多项式的的回转类声场的建模方法。
[0004]
本发明解决上述技术问题所采用的技术方案为：一种基于三重正交多项式的的回转类声场的建模方法，具体包括以下步骤：
[0005]
步骤一:首先对回转类声场建立三维坐标系，记为(r,θ,z)，其中，r表示三维坐标系的半径方向变量，θ表示三维坐标系的圆周方向变量，z表示三维坐标系的轴向方向变量，圆周方向和轴向方向相垂直，半径方向分别与圆周方向和轴向方向相垂直；回转类声场的声压容许函数选用三重正交多项式表示，记为p；
[0006]
步骤二：通过公式(1)将三维坐标系(r,θ,z)中的半径方向变量r换元至取值范围[a,b]内的三重正交多项式变量ξ，通过公式(2)将三维坐标系(r,θ,z)中的圆周方向变量θ换元至取值范围[a,b]内的三重正交多项式变量η，通过公式(3)将三维坐标系(r,θ,z)中的轴向方向变量z换元至取值范围[a,b]内的三重正交多项式变量δ，[a,b]表示三重正交多项
式的正交区间；在三维坐标系(r,θ,z)换元后，回转类声场声压容许函数p如式(4)所示：
[0007][0008][0009][0010][0011]
其中，r表示回转类声场的半径，l表示回转类声场沿母线方向的长度，b表示三重正交多项式的截断项数，为正整数，m为三重正交多项式在半径方向的项数计数值，n为三重正交多项式在圆周方向的项数计数值，l为三重正交多项式在轴向方向的项数计数值；m＝0,1,2
…
b，n＝0,1,2
…
b，l＝0,1,2
…
b，a
mnl
为三维坐标系下声压容许函数的正交多项式系数，tm(ξ)表示声压容许函数中变量取值为ξ的第m阶正交多项式，tn(η)表示声压容许函数中变量取值为η的第n阶正交多项式，t
l
(δ)表示声压容许函数中变量取值为δ的第l阶正交多项式，tm(ξ)、tn(η)和t
l
(δ)为同一类正交多项式；
[0012]
步骤三：将回转类声场的声场势能u和声场动能t分别采用式(5)和式(6)表示为：
[0013][0014][0015]
其中，ρ表示该回转类声场内声学媒介的密度，取值为1.21kg/m^3，ω表示回转类声场的圆频率，c0表示声波在该回转类声场内声学媒介中传播的速度，取值为340m/s，v为回转类声场的体积，h
ξ
、h
η
和h
δ
分别为回转类声场的lame
′
参数，具体取值如下：
[0016]
当回转类声场为圆柱形声场时：h
ξ
＝1，h
η
＝ξ，h
δ
＝1；
[0017]
当回转类声场为圆锥形声场时：h
ξ
＝1，h
η
＝δsinγ，h
δ
＝1，γ为圆锥形声场的锥顶角；
[0018]
当回转类声场为圆球形声场时：h
ξ
＝1，h
δ
＝ξ，为圆球形声场的截断角度；
[0019]
步骤四：在回转类声场中，在圆周方向上的声压容许函数p是连续的，即满足圆周方向θ＝0处的声压值等于圆周方向θ＝2π处的声压值；由正交多项式的基本性质可知，对于每个正整数n，tn(η)表示变量为η的正交多项式的第n阶多项式，在正交区间[a,b]内，声压容许函数中变量η＝a时的第n阶正交多项式tn(η|
η＝a
)不等于声压容许函数中变量η＝b时的第n阶正交多项式tn(η|
η＝b
)，即正交多项式正交区间两端点的值不相等，显然不能满足式(7)，所以回转类声场直接选用三重正交多项式的声压容许函数在圆周方向上的声压是不连续的；
[0020]
tn(η|
η＝a
)＝tn(η|
η＝b
)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(7)
[0021]
为了声压容许函数满足连续性条件，引入一种罚函数，回转类声场圆周方向罚函数的能量函数vc采用式(8)表示：
[0022][0023]
其中，p(ξ,η|
η＝a
,δ)表示回转类声场圆周方向θ＝0处的声压容许函数，p(ξ,η|
η＝b
,δ)表示回转类声场圆周方向θ＝2π处的声压容许函数，k表示罚因子，是一个大于106的自然数，采用罚函数法考虑圆周方向声压函数不连续的问题，罚函数是指将二次惩罚项加入到最小化的回转类声场的拉格朗日泛函中，该拉格朗日泛函的极值条件为其变分为零，当罚因子k足够大时，能够得到逼近于精确解tn(η|
η＝a
)＝tn(η|
η＝b
)的近似解；
[0024]
步骤五：将回转类声场的拉格朗日泛函记为l
cavity
,l
cavity
采用式(10)表示为：
[0025]
l
cavity
＝u-t+vcꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(10)
[0026]
步骤六：对回转类声场的拉格朗日泛函l
cavity
求变分，得到：
[0027][0028]
步骤七：将式(11)采用矩阵形式进行描述，得到如式(12)所示的回转类声场的特性方程：
[0029]
(w-ω2m)e＝0
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(12)
[0030]
其中，w为回转类声场的刚度矩阵，m为回转类声场的质量矩阵，e为回转类声场的系数矢量；
[0031]
步骤八：由式(12)求出ω2，然后计算ω2的算术平方根得到回转类声场的固有频率ω；由回转类声场的系数矢量得到回转类声场的固有频率相对应的主振型，采用式(13)表示为：
[0032]
q＝de
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(13)
[0033]
其中，q表示回转类声场的主振型；d表示选取的线性独立的假设振型，每一个线性独立的假设振型都能够表示成回转类声场的主振型的线性组合。
[0034]
三重正交多项式是勒让德多项式、雅可比多项式、切比雪夫多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式和罗巴特多项式中的其中一个；
[0035]
与现有技术相比，本发明的优点在于首先对回转类声场建立三维坐标系，通过换元公式变换至正交多项式正交区间内的坐标系，然后确定回转类声场的声场势能、声场动能和回转类声场的拉格朗日泛函，选取三重正交多项式作为回转类声场的声压容许函数，采用罚函数解决了回转类声场圆周方向声压函数不连续的问题，使其统一了声压容许函数中的正交多项式，简化了计算过程，易于程序的编写，然后通过对回转类声场的拉格朗日泛函求变分，求解得到回转类声场的特性方程，最终得到声学预报信息，由此本发明简化了回转类声场的声压容许函数，只需使用一种正交多项式的容许函数便能准确的求解回转类声场的声学预报信息(此处声学预报信息指回转类声场的固有频率和振型)，其求解过程简单，易于编程计算，灵活性强，运算量较小且收敛速度快，通过改变截断项数可以控制结果的精确度。
附图说明
[0036]
图1为圆柱形声场模型图；
[0037]
图2为本发明的基于三重正交多项式的回转类声场建模方法的流程示意图。
具体实施方式
[0038]
以下结合附图实施例对本发明作进一步详细描述。
[0039]
实施例：如图2所示，一种基于三重正交多项式的的回转类声场的建模方法，具体包括以下步骤：
[0040]
步骤一:首先对回转类声场建立三维坐标系，记为(r,θ,z)，其中，r表示三维坐标系的半径方向变量，θ表示三维坐标系的圆周方向变量，z表示三维坐标系的轴向方向变量，圆周方向和轴向方向相垂直，半径方向分别与圆周方向和轴向方向相垂直；回转类声场的声压容许函数选用三重正交多项式表示，记为p，三重正交多项式是勒让德多项式、雅可比多项式、切比雪夫多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式和罗巴特多项式中的其中一个；
[0041]
步骤二：通过公式(1)将三维坐标系(r,θ,z)中的半径方向变量r换元至取值范围[a,b]内的三重正交多项式变量ξ，通过公式(2)将三维坐标系(r,θ,z)中的圆周方向变量θ换元至取值范围[a,b]内的三重正交多项式变量η，通过公式(3)将三维坐标系(r,θ,z)中的轴向方向变量z换元至取值范围[a,b]内的三重正交多项式变量δ，[a,b]表示三重正交多项式的正交区间；在三维坐标系(r,θ,z)换元后，回转类声场声压容许函数p如式(4)所示：
[0042][0043][0044][0045][0046]
其中，r表示回转类声场的半径，l表示回转类声场沿母线方向的长度，b表示三重正交多项式的截断项数，为正整数，m为三重正交多项式在半径方向的项数计数值，n为三重正交多项式在圆周方向的项数计数值，l为三重正交多项式在轴向方向的项数计数值；m＝0,1,2
…
b，n＝0,1,2
…
b，l＝0,1,2
…
b，a
mnl
为三维坐标系下声压容许函数的正交多项式系数，tm(ξ)表示声压容许函数中变量取值为ξ的第m阶正交多项式，tn(η)表示声压容许函数中变量取值为η的第n阶正交多项式，t
l
(δ)表示声压容许函数中变量取值为δ的第l阶正交多项式，tm(ξ)、tn(η)和t
l
(δ)为同一类正交多项式；
[0047]
步骤三：将回转类声场的声场势能u和声场动能t分别采用式(5)和式(6)表示为：
[0048]
[0049][0050]
其中，ρ表示该回转类声场内声学媒介的密度，取值为1.21kg/m^3，ω表示回转类声场的圆频率，c0表示声波在该回转类声场内声学媒介中传播的速度，取值为340m/s，v为回转类声场的体积，h
ξ
、h
η
和h
δ
分别为回转类声场的lame
′
参数，具体取值如下：
[0051]
当回转类声场为圆柱形声场时：h
ξ
＝1，h
η
＝ξ，h
δ
＝1；
[0052]
当回转类声场为圆锥形声场时：h
ξ
＝1，h
η
＝δsinγ，h
δ
＝1，γ为圆锥形声场的锥顶角；
[0053]
当回转类声场为圆球形声场时：h
ξ
＝1，h
δ
＝ξ，为圆球形声场的截断角度；
[0054]
步骤四：在回转类声场中，在圆周方向上的声压容许函数p是连续的，即满足圆周方向θ＝0处的声压值等于圆周方向θ＝2π处的声压值；由正交多项式的基本性质可知，对于每个正整数n，tn(η)表示变量为η的正交多项式的第n阶多项式，在正交区间[a,b]内，声压容许函数中变量η＝a时的第n阶正交多项式tn(η|
η＝a
)不等于声压容许函数中变量η＝b时的第n阶正交多项式tn(η|
η＝b
)，即正交多项式正交区间两端点的值不相等，显然不能满足式(7)，所以回转类声场直接选用三重正交多项式的声压容许函数在圆周方向上的声压是不连续的；
[0055]
tn(η|
η＝a
)＝tn(η|
η＝b
)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(7)
[0056]
为了声压容许函数满足连续性条件，引入一种罚函数，回转类声场圆周方向罚函数的能量函数vc采用式(8)表示：
[0057][0058]
其中，p(ξ,η|
η＝a
,δ)表示回转类声场圆周方向θ＝0处的声压容许函数，p(ξ,η|
η＝b
,δ)表示回转类声场圆周方向θ＝2π处的声压容许函数，k表示罚因子，是一个大于106的自然数，采用罚函数法考虑圆周方向声压函数不连续的问题，罚函数是指将二次惩罚项加入到最小化的回转类声场的拉格朗日泛函中，该拉格朗日泛函的极值条件为其变分为零，当罚因子k足够大时，能够得到逼近于精确解tn(η|
η＝a
)＝tn(η|
η＝b
)的近似解；
[0059]
步骤五：将回转类声场的拉格朗日泛函记为l
cavity
,l
cavity
采用式(10)表示为：
[0060]
l
cavity
＝u-t+vcꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(10)
[0061]
步骤六：对回转类声场的拉格朗日泛函l
cavity
求变分，得到：
[0062][0063]
步骤七：将式(11)采用矩阵形式进行描述，得到如式(12)所示的回转类声场的特性方程：
[0064]
(w-ω2m)e＝0
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(12)
[0065]
其中，w为回转类声场的刚度矩阵，m为回转类声场的质量矩阵，e为回转类声场的系数矢量；
[0066]
步骤八：由式(12)求出ω2，然后计算ω2的算术平方根得到回转类声场的固有频率ω；由回转类声场的系数矢量得到回转类声场的固有频率相对应的主振型，采用式(13)表示为：
[0067]
q＝de
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(13)
[0068]
其中，q表示回转类声场的主振型；d表示选取的线性独立的假设振型，每一个线性独立的假设振型都能够表示成回转类声场的主振型的线性组合。
[0069]
本实施例中，回转类声场为图1所示的圆柱形声场。如图1所示，圆柱形声场的具体几何参数为：r＝0.25m，l＝1m，该圆柱形声场内声学媒介的密度ρ＝1.21kg/m^3，声波在该圆柱形声场内声学媒介中传播的速度c0＝340m/s。圆柱形声场声压容许函数中三重正交多项式在半径方向、圆周方向、轴向方向的项数计数值m-n-l分别取5-5-5，6-6-6，7-7-7，8-8-8和9-9-9。采用本发明的基于三重正交多项式的回转类声场建模方法得到的圆柱形声场的固有频率与采用ansys workbench仿真得到的圆柱形声场的固有频率比较数据如表1所示：
[0070]
表1
[0071][0072]
分析表1可知：本发明的基于三重正交多项式的回转类声场建模方法预报的圆柱形声场预报结果具有较快的收敛速度，本发明的前25阶固有频率结果与ansys workbench
仿真的前25阶结果高度吻合，验证了本发明在求解回转类声场声学特性问题的预报正确性和有效性。

技术特征：

1.一种基于三重正交多项式的的回转类声场的建模方法，其特征在于具体包括以下步骤：步骤一:首先对回转类声场建立三维坐标系，记为(r,θ,z)，其中，r表示三维坐标系的半径方向变量，θ表示三维坐标系的圆周方向变量，z表示三维坐标系的轴向方向变量，圆周方向和轴向方向相垂直，半径方向分别与圆周方向和轴向方向相垂直；回转类声场的声压容许函数选用三重正交多项式表示，记为p；步骤二：通过公式(1)将三维坐标系(r,θ,z)中的半径方向变量r换元至取值范围[a,b]内的三重正交多项式变量ξ，通过公式(2)将三维坐标系(r,θ,z)中的圆周方向变量θ换元至取值范围[a,b]内的三重正交多项式变量η，通过公式(3)将三维坐标系(r,θ,z)中的轴向方向变量z换元至取值范围[a,b]内的三重正交多项式变量δ，[a,b]表示三重正交多项式的正交区间；在三维坐标系(r,θ,z)换元后，回转类声场声压容许函数p如式(4)所示：交区间；在三维坐标系(r,θ,z)换元后，回转类声场声压容许函数p如式(4)所示：交区间；在三维坐标系(r,θ,z)换元后，回转类声场声压容许函数p如式(4)所示：交区间；在三维坐标系(r,θ,z)换元后，回转类声场声压容许函数p如式(4)所示：其中，r表示回转类声场的半径，l表示回转类声场沿母线方向的长度，b表示三重正交多项式的截断项数，为正整数，m为三重正交多项式在半径方向的项数计数值，n为三重正交多项式在圆周方向的项数计数值，l为三重正交多项式在轴向方向的项数计数值；m＝0,1,2
…
b，n＝0,1,2
…
b，l＝0,1,2
…
b，a
mnl
为三维坐标系下声压容许函数的正交多项式系数，t
m
(ξ)表示声压容许函数中变量取值为ξ的第m阶正交多项式，t
n
(η)表示声压容许函数中变量取值为η的第n阶正交多项式，t
l
(δ)表示声压容许函数中变量取值为δ的第l阶正交多项式，t
m
(ξ)、t
n
(η)和t
l
(δ)为同一类正交多项式；步骤三：将回转类声场的声场势能u和声场动能t分别采用式(5)和式(6)表示为：步骤三：将回转类声场的声场势能u和声场动能t分别采用式(5)和式(6)表示为：其中，ρ表示该回转类声场内声学媒介的密度，取值为1.21kg/m^3，ω表示回转类声场的圆频率，c0表示声波在该回转类声场内声学媒介中传播的速度，取值为340m/s，v为回转类声场的体积，h
ξ
、h
η
和h
δ
分别为回转类声场的lame
′
参数，具体取值如下：当回转类声场为圆柱形声场时：h
ξ
＝1，h
η
＝ξ，h
δ
＝1；当回转类声场为圆锥形声场时：h
ξ
＝1，h
η
＝δsinγ，h
δ
＝1，γ为圆锥形声场的锥顶角；当回转类声场为圆球形声场时：h
ξ
＝1，h
δ
＝ξ，为圆球形声场的截断角
度；步骤四：在回转类声场中，在圆周方向上的声压容许函数p是连续的，即满足圆周方向θ＝0处的声压值等于圆周方向θ＝2π处的声压值；由正交多项式的基本性质可知，对于每个正整数n，t
n
(η)表示变量为η的正交多项式的第n阶多项式，在正交区间[a,b]内，声压容许函数中变量η＝a时的第n阶正交多项式t
n
(η|
η＝a
)不等于声压容许函数中变量η＝b时的第n阶正交多项式t
n
(η|
η＝b
)，即正交多项式正交区间两端点的值不相等，显然不能满足式(7)，所以回转类声场直接选用三重正交多项式的声压容许函数在圆周方向上的声压是不连续的；t
n
(η|
η＝a
)＝t
n
(η|
η＝b
)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(7)为了声压容许函数满足连续性条件，引入一种罚函数，回转类声场圆周方向罚函数的能量函数v
c
采用式(8)表示：其中，p(ξ,η|
η＝a
,δ)表示回转类声场圆周方向θ＝0处的声压容许函数，p(ξ,η|
η＝b
,δ)表示回转类声场圆周方向θ＝2π处的声压容许函数，k表示罚因子，是一个大于106的自然数，采用罚函数法考虑圆周方向声压函数不连续的问题，罚函数是指将二次惩罚项加入到最小化的回转类声场的拉格朗日泛函中，该拉格朗日泛函的极值条件为其变分为零，当罚因子k足够大时，能够得到逼近于精确解t
n
(η|
η＝a
)＝t
n
(η|
η＝b
)的近似解；步骤五：将回转类声场的拉格朗日泛函记为l
cavity
,l
cavity
采用式(10)表示为：l
cavity
＝u-t+v
c
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(10)步骤六：对回转类声场的拉格朗日泛函l
cavity
求变分，得到：步骤七：将式(11)采用矩阵形式进行描述，得到如式(12)所示的回转类声场的特性方程：(w-ω2m)e＝0
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(12)其中，w为回转类声场的刚度矩阵，m为回转类声场的质量矩阵，e为回转类声场的系数矢量；步骤八：由式(12)求出ω2，然后计算ω2的算术平方根得到回转类声场的固有频率ω；由回转类声场的系数矢量得到回转类声场的固有频率相对应的主振型，采用式(13)表示为：q＝de
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(13)其中，q表示回转类声场的主振型；d表示选取的线性独立的假设振型，每一个线性独立的假设振型都能够表示成回转类声场的主振型的线性组合。2.根据权利要求1所述的一种基于三重正交多项式的的回转类声场的建模方法，其特征在于三重正交多项式是勒让德多项式、雅可比多项式、切比雪夫多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式和罗巴特多项式中的其中一个。

技术总结

本发明公开了一种基于三重正交多项式的的回转类声场的建模方法，首先对回转类声场建立三维坐标系，通过换元公式变换至正交多项式正交区间内的坐标系，然后确定回转类声场的声场势能、声场动能和回转类声场的拉格朗日泛函，选取三重正交多项式作为回转类声场的声压容许函数，采用罚函数解决了回转类声场圆周方向声压函数不连续的问题，使其统一了声压容许函数中的正交多项式，简化了计算过程，易于程序的编写，然后通过对回转类声场的拉格朗日泛函求变分，求解得到回转类声场的特性方程，最终得到声学预报信息；优点是求解过程简单，易于编程计算，灵活性强，运算量较小且收敛速度快，通过改变截断项数可以控制结果的精确度。通过改变截断项数可以控制结果的精确度。通过改变截断项数可以控制结果的精确度。