2012年全国各地中考数学压轴题专集答案
圆
八、圆
1．（北京模拟）在△ABC中，分别以AB、AC为直径在△ABC外作半圆O1和半圆O2，其中O1和O2分别为两个半圆的圆心．F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点． （1）如图1，连接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：△DO1F≌△FO2E；
（2）如图2，过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，若∠ACB＝90°，DB＝5，CE＝3，求线段PQ的长；
（3）如图3，过点A作半圆O2的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连接PA．求证：PA是半圆O1的切线．
（1）证明：∵O1，O2，F分别是AB，AC，BC边的中点
A
O1
C
B
O2
E
D
F
∴O1F∥AC且O1F＝AO2，O2F∥AB且O2F＝AO1∴∠BO1F＝∠BAC，∠CO2F＝∠BAC
∴∠BO1F＝∠CO2F
∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点
∴O1F＝AO2＝O2E，O2F＝AO1＝O1D，∠BO1D＝90°，∠CO2E＝90°
∴∠BO1D＝∠∠CO2E，∴∠DO1F＝∠FO2E
∴△DO1F≌△FO2E
A
O1
C
B
O2
E
D
F
P
Q
G
（2）解：延长CA至G，使AG＝AQ，连接BG、AE
∵点E是半圆O2圆弧的中点，∴AE＝CE＝3
∵AC为半圆O2的直径，∴∠AEC＝90°
∴∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝3
∵AQ是半圆O2的切线，∴CA⊥AQ，∴∠CAQ＝90°
∴∠AQE＝∠ACE＝45°，∠GAQ＝90°，∴AQ＝AC＝AG＝3
同理：∠BAP=90°，AB=AP＝5
∴CG＝6，∠GAB＝∠QAP
∴△AQP≌△AGB，∴PQ＝BG
∵∠ACB＝90°，∴BC＝＝4
∴BG＝＝2，∴PQ＝2
（3）设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CG⊥MF于G，过B作BH⊥MF于H，连接DH、AD、DM
∵F是BC边的中点，∴S△ABF ＝S△ACF ，∴BH＝CG
由（2）知，∠CAQ＝90°，AC＝AQ，∴∠2＋∠3＝90°
∵FM⊥PQ，∴∠2＋∠1＝90°，∴∠1＝∠3
同理：∠2＝∠4
F
P
Q
M
G
H
∴△AMQ≌△CGA，∴AM＝CG，∴AM＝BH同（2）可证AD＝BD，∠ADB＝∠ADP＝90°
∴∠ADB＝∠AHB＝90°，∠ADP＝∠AMP＝90°
∴A、D、B、H四点在以AB为直径的圆上
A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上
且∠DBH＋∠DAH＝180°
∴∠5＝∠8，∠6＝∠7
∵∠DAM＋∠DAH＝180°，∴∠DBH＝∠DAM
∴△DBH≌△DAM，∴∠5＝∠9
∴∠HDM＝90°，∴∠5＋∠7＝90°
∴∠6＋∠8＝90°，∴∠PAB＝90°，∴PA⊥AB
又AB是半圆O1的直径，∴PA是半圆O1的切线
2．（上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC＝1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由； （3）设BD＝x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．
解：（1）∵OD⊥BC，∴BD＝ BC＝
在Rt△BOD中，OD＝ ＝
连接AB
∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，∴AB＝ ＝2
∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D是BC中点，E是AC中点
∴DE＝ AB＝
（3）连接OC，过D作DF⊥OE于F
∵OD＝2，BD＝x，∴OD＝
∵OA＝OB＝OC，OD⊥BC，OE⊥AC
∵∠AOB＝90°，∴∠DOE＝45°
在Rt△DOF中，DF＝OF＝
在Rt△DFE中，EF＝ ＝ ＝ x
∴y＝ OE·DF＝ ( ＋ x )·
即y＝ （0＜x ＜）
3．（上海模拟）B
A
C
N
P
M
如图，已知在△ABC中，AB＝15，AC＝20，cotA＝2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长．当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P与边AC相交于点M和点N时，设AP＝x，MN＝y． （1）求⊙P的半径；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当AP＝6 时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由．
解：（1）过B作BD⊥AC于D
∵⊙P与边AC相切，∴BD是⊙P的半径
又∵sinA＝ ，AB＝15，∴BD＝3
（2）过P作PH⊥MN于H
则PH＝ x，PM＝BD＝3
∴MH＝ ＝
∴y＝2MH＝2
即y＝ （3≤x ＜15）
（3）当AP＝6 时，∠CPN＝∠A
理由如下：
当AP＝6 时，PH＝6，MH＝3，AH＝12，∴AM＝9
∵AC＝20，MN＝6，∴CN＝5
∵ ＝ ＝ ， ＝ ，∴ ＝
又∵PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM
∴∠AMP＝∠PNC，∴△AMP∽△PNC
∴∠CPN＝∠A
4．（上海模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，∠B＝60°，AB＝10，AD＝4，⊙M与∠BAD的两边相切，点N在射线AB上，⊙N与⊙M是等圆，且两圆外切．
（1）设AN＝x，⊙M的半径为y，求y关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，⊙M与CD相切？
（3）直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长是否可能相等？如果能，求出符合要求的x的值；如果不能，请说明理由．
解：（1）连接AM、MN，设⊙M与AB相切于点E，连接ME
∴在Rt△MNE中，MN＝2ME，∴∠ANM＝30°
∵AD∥BC，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°
∵⊙M与∠BAD的两边相切
∴∠NAM＝60°，∴∠AMN＝90°
∴在Rt△AMN中AM＝ AN＝ x
∴ME＝AM·sin60°＝ x
即y＝ x（x ＞0）
A
M
C
B
D
N
G
F
（2）设⊙M分别与AD、CD相切于点F、G，连接MA、MF、MG则MF＝FD＝MG＝y
且AF＝MF·cot60°＝ y＝ · x＝ x
∵AD＝4，AF＋FD＝AD，∴ x＋ x＝4
∴x＝8( －1 )
（3）作NH⊥BC于点H
若直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长相等，则弦心距MG＝NH
∵AB＝10，∴BN＝10－x
∴FD＝MG＝NH＝BN·sin60°＝ (10－x )
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