课程编号：090085、090022
总学时：162
学分：8
适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学
课程类型：专业必修课
开课单位：
通过本课程的教学，使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认识, 提高他们的抽象思维、逻辑推理和运算的能力；使学生初步地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解；使学生能应用代数思想和方法去理解与处理有关的问题, 培养与提高代数的理论分析问题与解决问题的能力；使学生学习数学学科后续课程（如近世代数、离散数学、计算方法、偏微 分方程、泛函分析等）提供一些所需要的基础理论和知识；使学生在智能开发、创新能力培养等方面获得重要的平台。
《高等代数》是数学与应用数学、信息与计算科学本科专业最重要的基础课程之一，是数学各专业报考研究生的必考课程之一，也是理论性、应用性很强的一门数学基础课。讲授本课程的目的主要在于培养学生的代数基础理论和思想素质，基本掌握代数中的论证方法, 获得较熟练的演算技能和初步应用的技巧, 提高分析问题、解决问题的能力，为进一步学习其它数学知识打下坚实的基础。
本课程的主要任务是通过教学的主要环节（课堂讲授与讨论、习题课、作业、辅导答疑等），使学生学习和掌握多项式理论、线性代数的代数理论（行列式、线性方程组、矩阵、λ矩阵）及线性代数的几何理论（线性空间、线性变换、欧氏空间）。 二次型、-
二、课程教学内容和基础要求
（1）理解多项式的定义，掌握最大公因式，互素，不可约多项式, 因式分解等有关的一系列性质。 （2）理解行列式的定义, 掌握行列式的基本运算性质和行列式的行(列)展开性质；理解向量组的线性相关性，掌握线性方程组的通解求法；理解矩阵的概念和运算，掌握矩阵的可逆、矩阵的分块、矩阵
的等价关系的性质及应用；理解二次型的定义，掌握二次型的标准形的求法及正定二次型的一系列性质。
（3）理解线性空间的定义，掌握交空间、和空间及直和的判定及性质；理解线性变换的定义及简单性质，掌握线性变换在不同基下的矩阵的性质、线性变换的值域与核的应用问
题；会求矩阵的若当标准形；理解欧氏空间及对称变换的定义，掌握对称变换与实对称矩阵之间的关系的有关性质。
第一部分多项式理论
第一章多项式
教学目的与要求：
1. 1 掌握数域的定义, 并会判断一个代数系统是否是数域。
1. 2 正确理解数域P上一元多项式的定义, 多项式相乘, 次数, 一元多项式环等概念。掌握多项式的运算及运算规律。
1. 3 正确理解整除的定义, 熟练掌握带余除法及整除的性质。
1. 4 正确理解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式, 互素等概念及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。
1. 5 正确理解和掌握不可约多项式的定义及性质。深刻理解并掌握因式分解及唯一性定理。掌握多项式的标准分解式。
1. 6 正确理解和掌握k重因式的定义。1. 7 掌握多项式函数的概念, 余数定理, 多项式的根及性质。正确理解多项式与多项式函数的关系。
1. 8 理解代数基本定理。熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及标准分解。
1. 9 深刻理解有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系。掌握本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法。
1. 10 理解多元多项式、对称多项式的定义，掌握对称多项式基本定理。
重点：整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、k重因式与k重根的关系、复（实）系数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。
难点：因式分解定理的应用。
教学内容：
1. 1 数域 1. 7 多项式函数
1. 2 一元多项式 1. 8 复系数与实系数多项式的因式分解
1. 3 整除的概念 1. 9 有理系数多项式
1. 4 最大公因式 1. 10 多元多项式
1. 5 因式分解定理 1. 11 对称多项式
1. 6 重因式
第二部分线性代数的代数理论
第二章行列式
教学目的与要求：
2.1 理解并掌握排列、逆序、逆序数、奇偶排列的定义。掌握排列的奇偶性与对换的关系。
2.2 深刻理解和掌握n级行列式的定义, 能用定义计算一些特殊行列式。
2.3 熟练掌握行列式的基本性质。
2.4 正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列式性质计算一些简单行列式。
2.5 正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计算行列式的技巧。
2.6熟练掌握克莱姆(Cramer)法则。
2.7 正确理解和掌握行列式的一个k级子式的余子式等概念、熟练掌握拉普拉斯(Laplace)定理。理解行列式的乘法规则。
重点：n级行列式的定义、行列式的基本性质、矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换、行列式按一行（列）展开的公式、克莱姆(Cramer)法则、拉普拉斯(Laplace)定理。
难点：行列式按一行（列）展开性质、拉普拉斯(Laplace)定理。
教学内容：
2.1 引言 2.5 行列式的计算
2.2 排列 2.6 行列式按一行（列）展开
2.3 n 级行列式 2.7 克兰姆法则
2.4 n 级行列式的性质 2.8 拉普拉斯定理·行列式的乘法规则
第三章线性方程组
教学目的与要求：
3.1 正确理解和掌握一般线性方程组, 方程组的解, 增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求解线性方程组的一般解。
3.2 理解和掌握n维向量及两个n维向量相等的定义。熟练掌握向量的运算。深刻理解n维向量空间的概念。
3.3 正确理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌握两个向量组等价的定义及等价性质定理。深刻理解向量组的极大无关组、秩的定义，会求解向量组的一个极大无关组。
3.4 深刻理解和掌握矩阵的行秩、列秩、秩的定义。掌握矩阵的秩与其子式的关系。
3.5 熟练掌握线性方程组的有解判别定理。理解和掌握线性方程组的公式解。
3.6 正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系, 解空间的维数与概念。熟练掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。会求一般线性方程组有解时的全部解。
重点：线性方程组的初等变换、求线性方程组的一般解、n维向量、线性组合、线性相关、线性无关、两个向量组等价、极大无关组、向量组的秩、求向量组的一个极大无关组、矩阵的秩、线性方程组的有解判别定理、线性方程组的公式解、齐次线性方程组的基础解系、基础解系的求法、线性方程组的结构定理、求一般线性方程组有解时的全部解。
难点：两个向量组等价、极大无关组、向量组的秩、求向量组的一个极大无关组、基础解系的求法、线性方程组解的结构。
教学内容：
3.1 消元法 3.4 矩阵的秩
3.2 n维向量组 3.5 线性方程组有解判别定理
3.3 线性相关性 3.6 线性方程组解的结构
第四章矩阵
教学目的与要求：
4.1 了解矩阵概念产生的背景。
4.2 掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算规律及其计算。
4.3 掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。
4.4 正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。
4.5 理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。
4.6 正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系，熟练掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵。
4.7 理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的逆。
重点：矩阵的运算、矩阵乘积的行列式定理、矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系、可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵、n阶方阵可逆的充要条件、用公式法求逆矩阵、分块矩阵的意义及运算、初等矩阵、用初等变换的方法求逆矩阵、分块矩阵的逆。
难点：分块矩阵的意义及运算、初等矩阵、用初等变换的方法求逆矩阵、分块矩阵的逆。
教学内容：
4.1 矩阵概念的一些背景 4.5 矩阵的分块
4.2 矩阵的运算 4.6 初等矩阵
4.3 矩阵乘积的行列式与秩 4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例
4.4 矩阵的逆
第五章二次型
教学目的与要求：
5.1 正确理解二次形和非退化线性替换的概念；掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应
关系；掌握矩阵的合同概念及性质。
5.2 理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准形的方法（主要是配方法、初等变换法）。
5.3 正确理解复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性；掌握惯性定理。
5.4 正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念；熟练掌握正定二次型及半正定二次型的等价条件。
重点：非退化线性替换、二次型的矩阵、二次型与其矩阵的一一对应关系、矩阵的合同、化二次型为标准形、复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理、正定二次型的判别条件、半正定二次型的等价条件。
难点：复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理、正定二次型的判别条件。
教学内容：
5.1 二次型的矩阵表示 5.3 唯一性
5.2 标准形 5.4 正定二次型
第三部分线性代数的几何理论
第六章线性空间
教学目的与要求：
6.1 掌握映射、单射、满射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念。
6.2 正确理解和掌握线性空间的定义及性质；会判断一个代数系统是否是线性空间。
6.3 理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念；正确理解和掌握n维线性空间的概念及性质。
6.4 正确理解和掌握基变换与坐标变换的关系。
6.5 正确理解线性子空间的定义及判别定理；掌握向量组生成子空间的定义及等价条件。
6.6 掌握子空间的交与和的定义及性质；熟练掌握维数公式。
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