表⾯等离⼦体共振波长
1.共振波长的基本求解思路
表⾯等离激元(SP)是指在⾦属和电介质界⾯处电磁波与⾦属中的⾃由电⼦藕合产⽣的振动效应。它以振动电磁波的形式沿⾦属和电介质的界⾯传播，并且在垂直离开界⾯的⽅向，其振幅呈现指数衰减。表⾯等离激元的频率与波⽮可以通过⾊散关系联系起来。其垂⾄于⾦属和电解介质界⾯⽅向电磁场 可表达为:
式中表⽰离开界⾯的垂直距离，当时取+，时取⼀。式中为虚数，引起电场的指数衰减。波⽮平⾏于⽅向，，其中为表⾯等离⼦体的共振波长。由表达式可见，当时，电磁场完全消失，并在时为最⼤值。函数，以及电介质的介电常数来求解表⾯等离激元的的⾊散关系，由公式: ，可得到等离激元⾊散关系式为: ，如果假设和都为实数，且
，则可获得⼀个较为复杂的⾊散关系式其中， (从实部可以计算SPPs 的波长
'2/x SPP K λπ=，SPPs 的传播距离SPP δ主要决定于虚部''2SPP SPPs k δ=
2. ⾦属表⾯等离体⼦频率的求解当波⽮较⼤或者时，的值趋向于21P SP ωωε=+ 对于⾃由电⼦⽓，，是⾦属体电⼦密度，是电⼦有效质 量，是电⼦电荷。因此，随增⼤⽽减⼩。 (1)
具有理想平⾯的半⽆限⾦属
全空间内电势分布满⾜拉普拉斯⽅程：由于在⽅向上介质和⾦属都是均匀的，所以可令解的形式为得拉普拉斯⽅程的解
由以及边界条件：
可以得到介质与⾦属相对电容率之间的关系：
，假设介质的相对电容率为与
频率⽆关的常数，由⾦属相对电容率的表⽰式可知因此⾦属表⾯等离体⼦频率为当介质为真空时，得到⾦属表⾯等离体⼦频率为
(2)⾦属中存在着⼤量的价电⼦，它们可以在⾦属中⾃由地运动．由于价电⼦的⾃由移动性及电⼦间存在着库仑相互作⽤，所以在⾦属内部微观尺度上必然存在着电⼦密度的起伏．由于库仑作⽤的长程性，导致电⼦系统既存在集体激发(即等离体⼦振荡)，也存在个别激发(即准电⼦)．⽽在⼩波⽮近似下只存在集体激发，故可以将电⼦密度的傅⾥叶分量作为集体坐标来描述这种关联，在k ⼀0的极限下，有式中为单位体积内的电⼦数．由此⽅程可以得到⾦属内等离体⼦振荡频率
从以上讨论及推导可以看出，⾦属等离体⼦振荡实际上是在库仑作⽤参与下的⾼粒⼦数密度系统中电⼦的集体运动，等离体⼦就是电⼦集体振荡的能量量⼦．由于库仑势场是纵场，因此等离体⼦是纵振动的量⼦．以上所讨论的情况没有考虑到⾦属边界的影响，即认为⾦属是⽆限⼤的，计算得到的频率
为块状⾦属中的体相等离体⼦频率．
3.⾦属介电常数的求解
(1)另外，根据Drude ⾃由电⼦⽓模型，理想⾦属的介电⽅程可写为: 22()1p i ωεωωτω
=-- ,p ω是等离⼦体振荡频率,,τ是散射速率描述电⼦运动遭遇散射⽽引起的损耗， 161311.210/, 1.4510p rad s s ωτ-=?=?对于银,。
(2)球状⾦属的SP 介电常数可由以下公式给出:
式中为⾦属周围环境的介电常数。从公式可以得到⽆限多的模式，在
时得到最低阶介电模式。由于光⼦通过这些介电模式藕合进⼊SP ，
然后出现⼀个衰减的过程，所以这些模式都具有辐射的特征。
(3)利⽤Drude 模型可以得到块状⾦属中的相对电容率表达式：
式中，其中为⾦属内电⼦的平均⾃由程，
为电⼦的Fermi (费密〔长度单位，等于10-13厘⽶〕)速度，为⾦属电阻率．的数量级为，的数量级为，故的量级为．由于的量级为，远远⼩于，故当趋近于时，可以忽略不计，所以考虑等离体⼦振荡问题时，可忽略相对电容率的虚部，得到⾦属中相对电容率的经典表达式：
⼆维周期性结构排列，当⼊射光垂直照射时，其共振波长⽤
112222max ()()m d s m
d a i j εελεε-=++来表⽰，其中a 是晶格常数，i j 和是整数，m ε是⾦属的介电常数，d ε是和⾦属接触的介质的介电常数。
4.其它⼀些相关知识点
由以上公式可画出理想⾦属的表⾯等离激元⾊散曲线，如图1.2所⽰
因此，由上可知SP不能直接⽤光来激发。我们可以利⽤快速电⼦来激发波
⽮较⼤的SP，但它⽆法激发波⽮较⼩的SP。我们可以借助⼀些特殊的结构装置，可以利⽤光来激发SP下图就是其中⼀种装置。
表⾯结构衍射激发
(1)如果⾦属表⾯⾮常粗糙(粗糙度)，SP会受到强烈的散射，其波形
将偏离扩散波的形状，不能以波的形式沿界⾯传播，⽽是被局域在⾦属表⾯，我
们把此时的SP称之为局域表⾯等离激元。并且当光频率的⼊射光照
射到粗糙表⾯时，光就可以通过粗糙表⾯藕合进⼊SP。
(2)⾦属颗粒对光的散射截⾯和吸收截⾯由以下公式给出:
，其中
是颗粒的机化率。是颗粒的体积，和。，分别是颗粒和周围介质的介电函数。当
时，颗粒机化率将会变得很⼤，此时便呈现表⾯等离激元共振的特性。并且在发⽣表⾯等离激元共振时，散射截⾯会远远超过颗粒的⼏何截⾯。同时，由公式可以看出，颗粒的散射截⾯与体积的平⽅成正⽐，⽽吸收截⾯与体积成线性关系。由此可见，⼤尺⼨的⾦属颗粒对光的散射更强。但在随着颗粒的增⼤，颗粒的机化出现不均匀性，其表⾯等离激元辐射衰减增加，颗粒的表⾯等离激元共振频率将出现四偶极⼦等⾼阶等离激元模式，这会导致表⾯等离激元共振峰发⽣红移。
(3)均匀介质中的纳⽶⾦属球
如图3所⽰，介质相对电容率为；⾦属球相对电容率为，半径为．对于球状的⾦属微粒，不再存在光波与等离体⼦振荡的波⽮失配问题，利⽤频率可调的光波照射纳⽶⾦属球，可以观察到等离体⼦对⼊射光波的吸收．这是因为⼊射光波将纳⽶⾦属球极化，在⾦属球内激发了表⾯等离体⼦振荡．
当⼊射光波在可见光波段时，光波波长远⼤于纳⽶⾦属球直径，所以可以利⽤准静电近似求
解⾦属球内外的电场分布．在准静电近似下，选择极轴⽅向为外场⽅向，使的解与⽆
关，则拉普拉斯⽅程的解可写为
在介质中有
与通解⽐较，并利⽤边界条件可以得到：
计算得到球内外电场分布：
球内的场强与⼊射场强之⽐称为表⾯局域场增强因⼦．当
时，球内场强增⾄极⼤，产⽣共振，可得
由此可得纳⽶⾦属球的等离体⼦振荡频率为
具有此频率的⼊射光波将激发⾦属球表⾯等离体⼦振荡．
(4)制备等离激元结构的常⽤⾦属材料包括：铝、银、⾦和铜等。铝和银是两种⾃由电⼦密度极⾼的⾦属材料，其等离激元共振峰可以达到极紫外波段。⾦和铜的⾃由电⼦密度则要弱于前两者，创门的表⾯等离激元共振峰⼀般在可见光波段。这⼏种材料中，银具有最低的损耗，最⼩的吸收系数的优异性
能，是研究表⾯等离激元的理想材料。另外，对于同⼀种⾦属颗粒，可以通过改变颗粒周围的介电材料来调节其表⾯等离激元共振峰的位置，⾼折射率的介电材料可以得到更⼤波长的共振峰位置。
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