（ 物理与电子工程系 04物本班 ）
摘 要：本文详细地讨论在经典力学中质点、质点组的动量、动量矩在惯性系与非惯性系中的定义、定理和守恒定律的共同点与不同点，从中提出它们的区别与联系。在对比中可以更清楚发现它们之间的区别与联系，因而加深对它们的理解与应用。 关键词：动量；动量矩；区别与联系；惯性系；非惯性系
在经典力学中，关于动量、动量矩的理论都已经非常完善，然而在学习和应用它们的过程中，发觉很容易混淆。本文就通过在惯性系、非惯性系中质点、质点组的动量与动量矩的定义、定理和守恒定律的对比，不仅在公式的形式上，而且在公式的物理意义等各方面进行比较、区别。总结它们的共同点和不同点，得出它们的区别与联系。此外，还举了一些特殊的例子来说明。
设所研究的质点P ，其质量为m ，受外力为F
。质点组是由n 个质点i p （i =1,2,3…..n ）
构成，其质量分别为i m （i 同前，以后就不再说明），受外力为()
e i F 、内力为()i i F
，任一质点在静止坐标系中的位置矢量为i r ，在运动坐标系中的位置矢量为'i r ，运动坐标系相对于静止坐标系的位置矢量为'o r 。动量的符号用p 表示，动量矩的符号用L ，力矩符号
为M 。
1 .惯性系中的动量与动量矩
在运动惯性系中，动量与动量矩之间的关系，有一部分与静止惯性系中相同，而另一部分与非惯性系中相同。所以在惯性系中，我们只研究静止惯性系中它们的区别与联系。
选取静止惯性系上的坐标系为OXYZ ，P 点位置矢量为r
。
1．1 惯性系中的动量
1．1．1 质点（质点组）的动量
质点的动量
p m v （1-1） 即：质点的质量和速度的乘积，称为质点的动量。 质点组的动量
1
n i i i p m v ==∑
（1-2） 即：质点组的动量等于各质点的动量的矢量和。 1．1．2 质点（质点组）的动量定理
由（1-1）、（1-2）式两对时间t 求导，考虑到质点组中，质点受内力和外力作用，且内力的矢量和为零。可得： 质点动量定理
d p F dt =
（1-3） 即：质点的动量对时间的变化率等于作用于质点上的外力，称为质点动量定理的导数形式。
（1-3）式可改写为 p Fdt =
（1-4） （1-4）式表明：质点动量的微分等于作用在质点上的合外力的元冲量，称为质点动
量定理的微分形式。
将（1-4）式两边积分，得： t o to
p p Fdt -=⎰
（1-5）
式中右边可写为0
t t I Fdt =⎰ ，是力对时间的积分，叫做力的冲量。（1-5）式的物理意
义为：质点动量的改变等于发生在这一改变过程中作用在质点上的合外力的冲量，称为质点动量的积分形式。
质点组的动量定理
()
11
n n e i i i i i d m v F dt ===∑∑ （1-6） 即：质点组的动量对时间的变化率等于质点组以外的物体作用于质点组内各质点的
力的矢量和。
由（1-6）式变化，还可得质点组动量定理的微分形式和积分形式。
()
1
1
n n e i i I i i d m v F dt ===∑∑
（1-7） ()
1
1
1
n n n t e i i i io i to
i i i m v m v F dt ===-=∑∑∑⎰ （1-8）
1.1.3 质点、质点组的动量守恒定律
质点的动量守恒定律 由（1-3）或（1-4）或（1-5）式，若令
0F =
（1-9） 得 p m v ==
恒矢量 （1-10） （1-10）式的物理意义：质点在不受外力作用或所受合外力为零的情况下，其动量不随时间变化，叫做质点动量守恒定律。
质点组动量守恒定律 由（1-6）或（1-7）或（1-8）式，若令
()
10n e i i F ==∑
（1-11）
得
1
n
i i i m v ==∑ 恒矢量 （1-12）
即：在没有外力的作用或外力的矢量和等于零时，质点组的总动量保持不变。
１.２ 惯性系中的动量矩 1.2.1 质点（质点组）的动量矩
质点的动量矩 L r p =⨯ （1-13） 即：质点对参考点O 的位置矢量与线动量的矢积，称为质点对参考点O 的动量矩。 质点组的动量矩。
1
n i i i i L r m v ==⨯∑
（1-14） 即：质点组的动量矩等于各质点对参考点O 的动量矩的矢量和。
1．2．2 质点（质点组）的动量矩定理
由（1-3）式两边左叉乘r ，整理得：
d L M dt
=
（1-15） 即：质点的动量矩对时间的变化率等于作用在该质点上的外力对O 点的力矩，称为质点动量矩定理的导数形式。
（1-15）式可改写为
d L Mdt =
（1-16） （1-16）式表明：质点对于给定点的动量矩的微分等于作用在质点上诸外力对同一
点的元冲矩，这就称为动量矩的微分形式。
将（1-16）积分得：
t o to
L L Mdt -=⎰
（1-17） 式中右边t
to
Mdt ⎰
是力矩对
时间的积分，叫做冲量矩。 （1-17）式的物理意义：质点对参考点的动量矩的改变等于作用在该质点上的诸外
力对同一参考点的冲量矩。
质点组的动量矩定理 在质点组中，质点受外力和内力，考虑到内力矢量和为零，所以得质点组动量定理的导数形式为：
()
11
n n e i i i i i i i d r m v r F dt ==⨯=⨯∑∑ （1-18） 由（1-18）式可得其微分形式和积分形式
()
1
1
n n e i i i i i i i d r m v r F dt ==⨯=⨯∑∑
（1-19） ()
1
1
1
n n n t e i i i i i io i i to
i i i r m v r m v r F ===⨯+⨯=⨯∑∑∑⎰ （1-20）
1．2．3 质点（质点组）动量矩守恒定律
由（1-15）或（1-16）或（1-17）式，当令
0M =
（1-21）
得 L r p =⨯= 恒矢量 （1-22） （1-22）式物理意义：当质点不受外力作用或所受诸外力对某固定点O 的力矩的矢量和为零时，它对同一固定点O 的动量矩为常矢量，称为质点的动量矩守恒定律。
质点组的动量矩守恒定律 由（1-18）或（1-19）或（1-20）式，当令
()
10n e i i i r F =⨯=∑ （1-23）
得
1
n
i i i i r m v =⨯=∑ 恒矢量 （1-24）
即：作用在质点组上的外力对某一固定点的力矩矢量和为零，质点组动量矩守恒。
1．3 惯性系中动量与动量矩的对比 1．3．1 动量与动量矩的对比
由（1-1）、（1-13）式可知质点（质点组）的动量与动量矩都是描述物体运动的物理
量，是物体运动状态的函数，都是矢量。但是两者又有区别：
第一，它们的量纲不同。动量的量纲式为1LMT -，动量矩的量纲式为21L MT -。
第二，动量只是运动速度的函数，是移动量；而动量矩则同时与质点运动速度和质点
对固定点的位置矢量有关，是转动量。且在转动力学中，动量矩L
所起的作用相当于移
动力学中动量p 在移动力学中所起的作用。
第三，由动量矩的定义L r mv =⨯ 可知，动量矩的方向总是与质点运动的方向垂直，而动量p mv =
的方向却总是与质点运动的方向一致。
第四，以一定速度运动的质点，且有确定的动量，但此质点的动量矩却必须选择了参考点之后才能确定，若选择不同的参考点，则动量矩具有不同的大小和方向。
第五，两者的表达式，动量是质量点乘速度，而动量矩是相应的动量左叉乘力对某参考点的位置矢量而得，这是区别又是联系。
1．3．2 动量定理与动量矩定理的对比
由（1-3）与（1-15）、（1-4）与（1-16）、（1-5）与（1-17）式和其定义式物理意义对比和参照，可看出，动量定理与动量矩定理的导数形式，微分形式和积分形式，就连物理意义都对应相似。
第一， 在导数形式中，两者对时间的变化率，前者（d p dt
）等于作用于质点的外
力；后者（d L dt ）等于作用在该质点上的诸外力对O 点的力矩矢量和。其中力和力矩都是矢量。
第二，当动量与动量矩变化时，动量的变化量方向与合外力方向一致；动量矩变化方向与合外力矩方向一致。
第三，微分式中动量的改变由力冲量决定，而动量矩的改变由力对同一固定点的冲量矩决定；然而，冲量的改变只由力决定，而冲量矩的改变不仅决定于力的改变，还决定于质点对参考点的位置矢量的改变。
第四，积分式（1-5）式表示了力对时间的积累效应，而（1-17）式表示了力矩对定点转动的时间积累效应。
以上是动量定理与动量矩定理的一些相似之处，那它们又有什么不同呢？我们可以从下面几个方面来看：
第一 在描述质点组动量定理（1-6）式可改写为
()1
n e c i i d MV F dt ==∑
（1-25） 式中1
n c i i i MV m v ==∑
，M 为质点组的总质量，c V 为质心的速度矢量。所以，在描述质点
组的动量、动量定理、和动量守恒定律时，还可以把质点组看成其质量全部集中到质心的一个点上看待.质点组的动量矩却不能如此描述。
第二 质点组绕固定轴转动时其动量矩定理可用转动惯量来表示。例如：一个刚体
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