重 心
可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。
已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。
证明：根据燕尾定理，
hca2S△AOB=S△AOC，
又S△AOB=S△BOC，
∴S△AOC=S△BOC，
再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、三角形内到三边距离之积最大的点。
5、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为(()/3,()/3)；空间直角坐标系——横坐标：()/3 纵坐标：()/3 竖坐标：（）/3
外 心
定义：外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。
外心性质：三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。
设,,分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积
=，=，=；c=++
重心坐标：( (）/2c，()/2c，()/2c )
垂 心
性质：
锐角三角形垂心在三角形内部
直角三角形垂心在三角形直角顶点
钝角三角形垂心在三角形外部
设,,分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积。
=，=，=；c=++
垂心坐标：( /c，/c，/c )
九点圆
三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆，这个圆为九点圆 〔 或欧拉圆 或 费尔巴哈圆. ）
九点圆性质：
1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; 即：=2：1
2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;
3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切
设,,分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积
=，=，=；c=++
垂心坐标：：( ()/4c，()/4c，()/4c )
欧拉线
定义：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
欧拉线定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。
欧拉线的性质：
1、在任意三角形中，以上四点共线。
2、欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
欧拉线的证法1
如图 作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’
∵ BD是直径
∴ ∠BAD、∠BCD是直角
∴ AD⊥AB，DC⊥BC
∵ CH⊥AB，AH⊥BC
∴ DA//CH，DC//AH
∴ 四边形ADCH是平行四边形
∴ AH=DC
∵ M是BC的中点，O是BD的中点
∴ OM= DC
∴ OM= AH
∵ OM//AH
∴ △OMG’ ∽△HAG’
∴=
∴ G’是△ABC的重心
∴ G与G’重合
∴ O、G、H三点在同一条直线上
欧拉线的证法2
如图 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
连接OD
O为外心
∴OD⊥BC
连接AH并延长交BC于E
H为垂心
∴ AE⊥BC
∴OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。
连接CG并延长交BA于F则可知F为AB中点
同理，OF//CM
∴∠OFC=∠MCF
连接FD
FD//AC,DF:AC=1:2
∴∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD
又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD
相减可得
∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC
∴△OFD∽△HCA
∴OD:HA=DF:AC=1:2
又GA:GD=2:1
∴OD:HA=GA:GD=2:1
又∠ODA=∠EAD
∴△OGD∽△HGA
∴∠OGD=∠AGH
又连接AG并延长
∴∠AGH+∠DGH=180°
∴∠OGD+∠DGH=180°
即O、G、H三点共线
欧拉线的证法3
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.
则OH=OA+OB+OC
OG=（OA+OB+OC）/3，
3 ×OG=OH
∴O、G、H三点共线 (注：OH, OA, OB , OC ,OG 均为向量）
费马点
定义：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
费马点的判定
（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。
（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点性质：
（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。
（2）.特殊三角形中，三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(3).特殊三角形中，若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是费马点
(4)特殊三角形中，当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合
证明
(1)费马点对边的张角为120度
在和中
BC=,BA=,=∠B+=,
∴和是全等三角形
∴∠PCB=
同理可得∠CBP=
由+=，得∠PCB+∠CBP=,
∴∠CPB=
同理,∠APB=，∠APC=
(2)PA+PB+PC=
将△BPC以点B为旋转中心旋转与重合，连结PD，则△PDB为等边三角形
∴∠BPD=
又∠BPA=
因此A、P、D三点在同一直线上
又∠CPB==，∠PDB=，=
∴A、P、D、四点在同一直线上
故PA+PB+PC=
(3)PA+PB+PC最短
在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转与重合，连结AM、GM、(同上)，则<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。
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