【知识点归纳】
考点一：勾股定理
（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（2）结论：
①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。
③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
（3）勾股定理的验证
例题：
例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。 （1）在Rt△ABC中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=___________；
②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；
④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。
（2）如果直角三角形的两直角边长分别为，2n（n>1），那么它的斜边长是（ ）
A、2n B、n+1 C、n2－1 D、
该边（3）在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）
A. B.
C. D.以上都有可能
（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。
（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
（2）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A、24 B、36 C、48 D、60
（3）已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）
A、5 B、25 C、7 D、15
例3：探索勾股定理的证明
有四个斜边为c、两直角边长为a,b的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证明勾股定理。
考点二：勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系，，那么这个三角形是直角三角形。
（2）常见的勾股数：（3n,4n,5n）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)…..（n为正整数）
（3）直角三角形的判定方法：
①如果三角形的三边长a,b,c有关系，，那么这个三角形是直角三角形。
②有一个角是直角的三角形是直角三角形。
③两内角互余的三角形是直角三角形。
④如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
例题：
例1：勾股数的应用
（1）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）
A.4，5，6B.2，3，4C.11，12，13D.8，15，17
（2）若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（ ）
A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7
例2：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状
（1）下面的三角形中：
①△ABC中，∠C=∠A－∠B；
②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；
③△ABC中，a：b：c=3：4：5；
④△ABC中，三边长分别为8，15，17．
其中是直角三角形的个数有（）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
（2）若三角形的三边之比为，则这个三角形一定是（）
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.不等边三角形
（3）已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
（4）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()
A．钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形
（5）若△ABC的三边长a,b,c满足试判断△ABC的形状。
（6）△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为，此三角形为。
例3：求最大、最小角的问题
（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。
（2）已知三角形三边的比为1：：2，则其最小角为。
考点三：勾股定理的应用例题：
例1：面积问题
（1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）
A.13B.26C.47D.94
（图1）（图2）（图3）
（3）如图，△ABC为直角三角形，分别以AB，BC，AC为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得（）
A.S1+S2>S3B.S1+S2=S3C.S2+S3<S1D.以上都不是
（2）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）
A.S1-S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S3<S1D.S2-S3=S1
例2：求长度问题
（1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
（2）在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？
例3：最短路程问题
（1）如图1，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是。（结果保留根式）
（图1）
（2）如图2，有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短距离为。
（图2）
例4：航海问题
（1）一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．
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