数学是一门博大精深的学问，小到普通的记账，买单，大到对于火箭与导弹的发射，对于飞机行驶航道的规划，稍有不慎，便会酿成家破人亡的惨剧。今天，让我们通过生活中的一个小物件,探索那神奇的数学世界.
关键词：多面体； 欧拉公式； 应用
一．正多面体简介
这是生活中一件普通的玩具，是由几个儿童用吸管拼凑而成的多面体。奇妙的是，这两个立体图形都是正多面体：正十二面体与正二十面体。你知道吗，世界上一共只有五种正多面体，分别为正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体与正二十面体。以下是他们的示意图以及展开图：
二.欧拉公式的推导
说到多面体，就不得不提到欧拉公式〔1〕：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。下面就来简述一
下简单多面体（对于一个多面体，如果它的表面能够连续地变形为一个球面，那么这样的多面体就叫做简单多面体。）中欧拉公式的推导过程：
就拿简单的正四面体为例加以说明．
1．去掉虚线所在的棱，使其变为一个平面图形。四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变．因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V＋F1－E＝1． 2、去掉底部的两条线段，使其变为一个树枝形．每去掉一条线段，就减少一个面，V＋F1－E不变．依次去掉所有的底部线段，变为“树枝形”． 3、从剩下的树枝形中，去掉两条线段，只剩一条线段．每去掉一条线段，就减少一个顶点，V＋F1－E不变，最后只剩下一条线段，此时V＋F1－E＝2＋0－1＝1．
4、以上过程中V＋F1－E＝1不变．所以加上去掉的一个面，V＋F－E ＝2．
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段．因此公式对任意简单多面体都是正确的．
还有一种方法：
设多面体的顶点数为V，面数为F，棱数为E．去掉一个面，使它变为平面图形（展开图），求所有面内角总和∑A．
设有P个面，各面的边数为n1，n2，…，nP，各面内角总和为：
∑A ＝[(n1－2)·1800＋(n2－2)·1800 ＋…＋(nP－2) ·1800］
＝(n1＋n2＋…＋nP－2F) ·1800
＝(2E－2F) ·1800
＝（E－F）·3600 （1）
设去掉的一个面为k边形，其内角和为(k－2)·1800，则所有V个顶点中，有k个顶点在边上，（V－k）个顶点在中间．中间（V－k）个顶点处的内角和为(V－k)·3600，边上的k个顶点处的内角和(k－2)·1800．
所以，多面体各面的内角总和：
∑A ＝（V－n）·3600＋（n－2）·1800＋（n－2）·1800
＝（V－2）·3600 （2）
由（1）（2）得：（E－F）·3600 ＝（V－2）·3600
所以 V＋F－E＝2．
三.正多面体的表面积与体积
说到多面体，就不得不提一提它的表面积与体积:由于计算起来没有固定的方法，就暂且列举正多面体的表面积与体积：
正四面体：表面积：
体积：
正六面体：表面积：
体积：
正八面体：表面积：
体积：
正十二面体：表面积：
体积：
正二十面体：表面积：
体积：
四.多面体的应用
图中是一个创意木椅。这个木椅就充分应用了正十二面体的切割，使木椅所占空间更小，使人坐在木椅上显得更舒适。
这就是著名的鸟巢结构物设计图。通过一个正六面体，进行多次三角分割与拉伸，构成鸟
巢的三角多面体球状设计图。鸟巢温室是立体多面体几何设计的晶体构造，具有晶体多面体的聚能效应，能发挥最大的物理效应与生物效应，是可持续节能型生态温室，可以充分利用宇宙自然能量进行作物的促生健生栽培，是投入最省的一种物理技术，是空间物质能量得以充分利用的现代农业新设施，估计不久的将来，该温室将成为我国温室革命的主导模式，在农业生产、观光农业、生态餐厅等建设中发挥出巨大的作用。 参考文献：
1.吕佐良.欧拉公式的简单应用〔正二十面体的展开图J〕.高中数学教与学,2006,3:45-46.
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