离散数学课程测试题
一、判断
( ) 1. 若wff A是可满足式,那么~A是矛盾式。
( ) 2. P=>P∨Q是合适公式。
( ) 3.x(A(x)→B)→(xA(x) →B)是重言式。
( ) 4. 可满足式的代入实例一定是可满足式。
( ) 5. wff A(P)=P的对偶式为~P。
( ) 6. 若A*和B*是wff A和B的对偶式,且A=>B,则A*=>B*。
( ) 7. 重言式的主析取范式为T。
( ) 8. 空集是非空集合的一个元素。
( ) 9. 设A和X是集合,则X∈2A iff XA。
( ) 10. 设A、B、C和D是四个非空集合, 且A×C B×D,则AB且CD。
( ) 12. 非空集合上的关系不是对称的,则必是反对称的。
( ) 13. 若R和S是二个有完全相同的二元组的集合,则称它们是相等的二元关系。
( ) 14. 设A是一个非空集合,则A上的等价关系都不是偏序关系。
( ) 15. 有限集上的全序关系必是良序关系。
( ) 16. 有限集上的偏序关系必是全序关系。
( ) 17 . <A;R>是偏序集,则A的任何非空子集必有极小元。
( ) 18. <A;R>是偏序集,则A的非空子集B的上确界必是B的最大元。
( ) 19. <A;R>是全序集,则A的任何非空子集必有唯一极小元。
( ) 20. <A;R>是全序集,则A的非空子集B的下确界必是B的最小元。
( ) 21. 无限集必与它的真子集等势。
( ) 22. 若AB,且A与B等势,则B是无限集。
( ) 23. 若AB,则#A<#B。
( ) 24. 连通的4度正则图一定没有桥。
二、选择
( )1. 是wff (P→Q)∧R∧(S→(P→Q))的代入实例的有
① P∧R∧(S→P) ② (~P→Q)∧~R∧(~S→(~P→Q))
③ (P→Q)∧S∧(R→(P→Q)) ④ (P→Q)∧R∧(R→(P→Q))
( )2. 与公式x ((P(x)∧y Q(y))∧z R(z)) →S(t)等价的有:
① u ((P(u)∧y Q(y))∧z R(z)) →S(t)
② u ((P(u)∧u Q(u))∧z R(z)) →S(t)
③ u ((P(u)∧u Q(u))∧u R(u)) →S(t)
④ u ((P(u)∧u Q(u))∧u R(u)) →S(u)
( )3. 下列关系中正确的有:
① {a}∈{a, {a}} ② {a}{a, {a}}
③ {a}∈{a, {{a}}} ④ {a}{a, {{a}}}
⑤ {a}∈{{a}, {{a}}} ⑥ {a}{{a}, {{a}}}
( )4.设A=P(P(P(Φ))),下列关系式中正确的有:
① Φ∈A ② ΦA ③ {Φ}∈A
④ {Φ}A ⑤ {{Φ}}∈A ⑥ {{Φ}}A
( )5.下列说法中正确的有:
① 任何集合都不是它自身的元素 ② 任何集合的幂集都不是空集
③ 若A×B=Φ,则A=B=Φ ④ 任意两集合的笛卡尔积都不是空集
( )6. {1,2,3,4,5}上的关系R={<1,1>,<1,3>,<2,3>}是
① 自反的 ② 反自反的 ③ 对称的 ④ 反对称的 ⑤ 传递的
( )⒎ 空集上的空关系是 关系。
① 相容 ② 等价 ③ 偏序 ④ 拟序 ⑤ 良序
( )⒏ 集A={0,1}上的恒等关系IA是 关系。
① 相容 ② 等价 ③ 偏序 ④ 拟序 ⑤ 良序
( )⒐ {1,2,3,4,5}上的全关系是 关系。
① 相容 ② 等价 ③ 偏序 ④ 拟序 ⑤ 良序
( )⒑ {1,2,3,4,5}上的全序关系一定是 关系。
① 相容 ② 等价 ③ 偏序 ④ 拟序 ⑤ 良序
( )11. {1,2,3,4,5}上的良序关系一定是
① 自反的 ② 反自反的 ③ 对称的 ④ 反对称的 ⑤ 传递的
( )12. 设R和S都是A到B的关系,则下列关系式中正确的有:
① (R∪S)-1=R-1∪S-1 ② (R∩S)-1=R-1∩S-1
③ (R-S)-1=R-1-S-1 ④ (RS)-1=R-1S-1
( )13. 函数f:R×R→R×R,f(<x,y>)=<x+y,x-y>是
① 入射 ② 满射 ③ 双射 ④ 以上答案都不对
( )14. 设Σ={a,b}为字母表,则f:Σ*→Σ*,f(x)=axb是
① 入射 ② 满射 ③ 双射 ④ 以上答案都不对
( )15. 若f、g是A上的函数且g·f是双射,则
① f和g都是双射 ② f为满射 ③ g为入射
④ f有左逆 ⑤ g有右逆
( )16. 设p阶图G不含圈,且恰有p-1条边(p≥2),则
① G连通 ② G的任一边都是桥
③ G是树 ④ 加入任一边,G便含圈
( )17. 下列序列中,有哪个(些)不可能是一棵树的度序列:
① ( 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2 ) ② ( 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3 )
③ ( 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3 ) ④ ( 1, 1, 1, 1, 4, 4, 4, 4 )
三、填空
1. 公式A(P, Q, R)= Q∧R∨P∧R∨T∧~P∧R的对偶式为A*= 。
2. 若公式A(P, Q, R, S)的主析取范式为∑1,3,4,5,7,则A的主合取范式为∏ 。
3. 给命题变元P和Q指派真值T,R和S指派真值F,公式P∨(Q→R∧~P)→~Q∨S的真值为 。
4. 量词表示“有且仅有”,xP(x)表示恰好有一个个体满足谓词P。那么用量词,及等号“=”表示谓词后得到的公式__________与xP(x)有相同的意义。 5. 若用谓词I(x)表示“x是整数”,E(x)表示“x=y”,G(x,y)表示“x>y”,那么命题“对任何整数x和y,x≤y且y≤x是x=y的充要条件”的谓词表达式为: 。
6. 给定论域D={1,2}和谓词P:P(1,1)=T,P(1,2)=F,P(2,1)=F,P(2,2)=T,
公式xy (P(x, y) →P(y, x))的真值为 。
7.若集A={1,2,3,4}上的关系R={<1,2>,<2,3>,<3,4>},S={<2,4>,<1,2>,<3,1>},则dom(R·S)= 。
8. 若A={a,b},B={1,2},则BA= 。
9. 用ε表示字母表Σ={a,b}上的空串,定义f:Σ*→Σ*如下:
x∈Σ* f(x)=axb 则f({ε,a,b})= 。
10. 用ε表示字母表Σ={a,b}上的空串,定义f:Σ*→Σ*如下:
x∈Σ* f(x)=axb 则f( )={aab,abb,ab}。
11. 在集A={1,2}上可定义两个不同的等价关系,它们是 和 。
12. 若R为集合A上的等价关系,a b,那么等价类[a]R和[b]R的交[a]R∩[b]R= 。
13. 若G是p阶k度正则图,则它有 条边,它的补图有 条边。
14. 考虑下图,它含有_________等割点,___________等桥(列出具体的顶点和边)。
四、计算与作图
1. 若集合A={1,2,3,4}上的关系R={<1,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,1>}。请用集合列举表示法表示r(R)、用关系图表示s(R),用关系矩阵表示t(R)。
2. 设R和S都是{1,2,3,4,5}上的二元关系,且
R={<2,4>,<4,1>,<3,5>,<5,3>},S={<1,2>,<3,4>,<5,2>},则R·S= ,R2= ,t(R)= 。
3. 设A={3,6,9,15,54,90,135,180},|为自然数的整除关系。画出<A;|>的Hasse图,并求{6,15,90}的上、下确界。
4. 设A={a,b},B={1,2,3,4},f={<a,1>,<b,2>}是A到B的函数,试出f的所有左逆和右逆(如果存在的话)。
5. 设A={1,2,3,4,5},B={a,b},f={<1,a>,<2,a>,<3,b>,<4,a>,<5,b>}是A到B的函数,试出f的所有左逆和右逆(如果存在的话)。
6. 定义A={1,2}×{1,2,3}上的等价关系R如下:<x,y>,<u,v>∈A,<x,y>R< u, v> iff x+y=u+v。求出商集A/R。
7. 设A={1,2},定义AA上的等价关系R如下:f,g∈AA,fRg iff f(A)=g(A)。试求出商集AA/R。
8. 某班级成立了三个运动队:篮球队、排球队和足球队。今有张、王、李、赵、陈5名同学,若已知张、王为篮球队员;张、李、赵为排球队员;李、赵、陈为足球队员,问能否从这5人中选出3名不兼职的队长? 9.图示出所有不同构的六阶树。
10. 出下图的一个最小生成树。
五、证明题