p.r.s
1-3-10 设控制系统如图所示，其中，G(s)＝kp+k/s ，F(s)=1/Js 。输入r(t)以及扰动n1(t)和n2(t)均为单位阶跃函数，试求： 1）在r(t)作用下系统的稳态误差。 2）在n1(t)作用下系统的稳态误差。 3）在n1(t)和n2(t)同时作用下系统的稳态误差。
解：1）在r(t)作用下，可见，系统的开环传递函数为，为II 型系统，在阶跃输入下稳态误差为0。
)()(s F s G 2）在作用时，系统的输出为
)(1t n )()
()(1)
()(11s N s F s G s F s C ⋅+=
根据图可知，误差为
)()
()(1)
()()(11s N s F s G s F s C s E n ⋅+−
=−=
根据终值定理
)(lim 10
1s sE e n s ssn →=
K
s K Js s
p s ++−=→20
lim
=0
3）在 作用时，系统的输出为
)(2t n )()
()(11
)(22s N s F s G s C ⋅+=
根据图可知，误差为
)()
()(11
)()(222s N s F s G s C s E n ⋅+−
=−=
根据终值定理
)(lim 20
2s sE e n s ssn →=
K s K Js Js p
s ++−=→2
2
0lim =0
根据线性系统迭加性，=+=0
ss e 1ssn e 2ssn e
讨论：如果参数K=0时系统的稳态误差又是怎样？
在r(t)作用下，系统型别为I 型，阶跃输入时稳态误差为0， 在作用时，
)
(1t n )(lim 10
1s sE e n s ssn →=p
s K Js +−=→1
lim
p
K 1−
= 在 作用时，系统的输出为
)(2t n )(lim 20
2s sE e n s ssn →=
p
s K Js Js
+−=→0
lim
=0
稳定性分析：当K=0，，，系统闭环极点为负数，系统稳定。 0>J 0>p K
1-3-11 设控制系统结构图如下所示：
（1）分析说明内反馈的存在对稳定性的影响
s K f （2）计算静态位置误差系数、静态速度误差系数和静态加速度误差系数，并说明内反馈的 存在对系统稳态误差的影响。 解： 系统的开环传递函数为
)
110()
1(102
+++=f K s s s s G ）
（ 故该系统为II 型系统
（1）稳定性分析 闭环特征方程为
01010)110(23=++++s s K s f
列劳思表如下
1 10 10 110+f K
1
10100+f f K K 0
10
由劳思判据知：当=0时，劳思表中出现了全零行，其辅助方程为，系统
有一对纯虚根f K 0102
=+s
10j ±，此时系统稳定，但不是渐近稳定的；当>0时，系统必是渐近稳定的。因此，内反馈的引入增强了系统的稳定性。 f K （2） 稳定误差分析 静态位置误差系数
∞==→)(lim 0
s G K s p
静态速度误差系数
∞==→)(lim 0
s sG K s υ
静态加速度误差系数
1
1010)(lim 20
+=
=→f s a K s G s K 表明，内反馈的引入，不改变系统的型别，但会减小，从而加大系统的稳态误差。 a K
1-3-12 已知系统的单位阶跃响应为
t t e e t c 221)(−−−+=，
0≥t 试求系统的传递函数，并在零初始条件下，求系统单位阶跃响应的超调量%δ和调节时间（取△=5%）
s t
解： 由于2
2
111)]([)(+−
++=
=s s s t c L s C )
2)(1(2
3+++=
s s s s
而s
s R 1
)(=
，故闭环传递函数为2323)()()(2+++==s s s s R s C s φ
显然，该系统为一有零点的二阶系统，不能采用无零点的二阶系统计算公式来计算%δ和。但可采用动态性能指标定义的方法来计算
s t 04)(2=+−==−−p p t
t p
e e t t dt t dc
上式可写为
0)14(=−−−p
p
t t e
e 因，故，所以峰值时间0≠−p
t e
14=−p
t e 386.1=p t
对应的峰值
125.121)(2=−+=−−p
p
t t p e
e t c 而超调量为%100)
()()(%×∞∞−=
c c t c p δ=12.5%
根据系统的输出响应表达式可知道，系统无振荡。
t t
e e t c 221)(−−−+=由△=5%，可令，有
05.1)(=s t c 05.1212=−+−−s s t t e e
上式为一二次方程，可解出为0.812或 2.874。显然应该有，故取调节时间为
=2.874
s t p s
t t >s t
（1）
当n(t)=0时，确定参数K 1和K 2，使系统单位阶跃响应超调量σ%=25%，峰值时间tp=2；
（2） 设计环节Gn(s)，使系统输出不受扰动n(t)的影响。 解： （1）求K1与K2
令N(s)=0，则系统开环传递函数为
)2()1(211n n
s s K K s s K s G ξωω+=
++=）（ 因此
211
212,K K K n n +==ξωω因为 d
p t e
ωπδξπξ
=
×=−−
,
%100%2
1 2
1ξωω−=n d
故得 4.0)
(ln )(ln 2
22
=+=δπδξ 72.112
=−=
ξ
π
ωp n t
从而
96.22
1==n K ω13.01
21
2=−=
K K n ξω （2）系统在扰动作用下的闭环传递函数为
1212
1)1()()(K s K K s G K s s N s C n
++++= 若取
1
K s s G n −=）
（，则满足系统不受扰动影响的要求。
1-3-14 已知某系统结构图如下。若要求系统在t t r =）
（作用下的稳态误差，试
确定满足要求的K 值范围，误差定义为1.0≤ss e )()()
(s C s R s E −=。
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