反三角函数的概念和性质 | |
一．基本知识： 1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系； 2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsinx, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccosx, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围； 3．符号arcsinx可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； 4．y＝arcsinx等价于siny＝x, y∈[－，], y＝arccosx等价于cosy＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； 5．注意恒等式sin(arcsinx)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccosx)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sinx)＝x, x∈[－，], arccos(cosx)＝x, x∈[0, π]的运用的条件； 6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用； 7．注意恒等式arcsinx＋arccosx＝, arctgx＋arcctgx＝的应用。 例一．下列各式中成立的是（C）。 （A）arcctg(－1)＝－ （B）arccos(－)＝－ （C）sin[arcsin(－)]＝－ （D）arctg(tgπ)＝aaaaaaaaaaaaaaaaaaπ 解：(A)(B)中都是值域出现了问题，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π], (D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。 例二．下列函数中，存在反函数的是（D）。 （A）y＝sinx, x∈[－π, 0] （B）y＝sinx, x∈[, ] （C）y＝sinx, x∈[,] （D）y＝sinx, x∈[,] 解：本题是判断函数y＝sinx在哪个区间上是单调函数，由于y＝sinx在区间[,]上是单调递减函数， 所以选D。 例三． arcsin(sin10)等于（C）。 （A）2π－10 （B）10－2π （C）3π－10 （D）10－3π 解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相等，且该角度在[－, ]上。 由于sin(3π－10)＝sin(π－10)＝sin10, 且3π－10∈[－, ], 所以选C。 例四．求出下列函数的反函数，并求其定义域和值域。 （1）f (x)＝2sin2x, x∈[, ];（2）f (x)＝＋arccos2x. 解：(1) x∈[, ], 2x∈[, ], 2x－π∈[－, ], －2≤y≤2 由y＝2sin2x, 得sin2x＝, sin(2x－π)＝－sin2x＝－, ∴ 2x－π＝arcsin(－), ∴ x＝－arcsin, ∴ f －1(x)＝－arcsin, －2≤x≤2, y∈[, ]. (2) f (x)＝＋arccos2x, x∈[－, ], y∈[,], ∴ arccos2x＝y－, 2x＝cos(y－), x＝cos(y－)＝siny, ∴f －1(x)＝sinx , x∈[,], y∈[－, ]. 例五．求下列函数的定义域和值域： (1) y＝arccos; (2) y＝arcsin(－x2＋x); (3) y＝arcctg(2x－1), 解：(1) y＝arccos, 0<≤1, ∴ x≥1, y∈[0, ). (2) y＝arcsin(－x2＋x), －1≤－x2＋x≤1, ∴ ≤x≤, 由于－x2＋1＝－(x－)2＋, ∴ －1≤－x2＋x≤, ∴ －≤y≤arcsin. (3) y＝arcctg(2x－1), 由于2x－1>－1, ∴ 0< arcctg(2x－1)<, ∴ x∈R, y∈(0, ). 例六．求下列函数的值域： (1) y＝arccos(sinx), x∈(－, ); (2) y＝arcsinx＋arctgx. 解：(1) ∵x∈(－, ), ∴ sinx∈(－, 1], ∴ y∈[0, ). (2) ∵y＝arcsinx＋arctgx., x∈[－1, 1], 且arcsinx与arctgx都是增函数, ∴ －≤arcsinx≤, －≤arctgx≤, ∴ y∈[－,]. 例七．判断下列函数的奇偶性： (1) f (x)＝xarcsin(sinx); (2) f (x)＝－arcctgx. 解：(1) f (x)的定义域是R， f (－x)＝(－x)arcsin[sin(－x)]＝xarcsin(sinx)＝f (x), ∴ f (x)是偶函数; (2) f (x)的定义域是R, f (－x)＝－arcctg(－x)＝－(π－arcctgx)＝arcctgx－＝－f (－x), ∴ f (x)是奇函数. 例八．作函数y＝arcsin(sinx), x∈[－π, π]的图象. 解：y＝arcsin(sinx), x∈[－π, π], 得, 图象略。 例九．比较arcsin, arctg, arccos(－)的大小。 解：arcsin<, arctg<, arccos(－)>, ∴arccos(－)最大, 设arcsin＝α，sinα＝, 设arctg＝β, tgβ＝, ∴ sinβ＝<sinα, ∴ β<α, ∴ arctg< arcsin< arccos(－). 例十．解不等式：(1) arcsinx<arccosx; (2) 3arcsinx－arccosx>. 解：(1) x∈[－1, 1], 当x＝时, arcsinx＝arccosx, 又arcsinx是增函数,arccosx是减函数， ∴ 当x∈[－1, )时, arcsinx<arccosx. (2) ∵ arccosx＝－arcsinx, ∴ 原式化简得4arcsinx>, ∴ arcsinx>＝arcsin, ∵ arcsinx是增函数, ∴ <x≤1. 二．基础知识自测题： 1．函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是. 2．函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] . 3．函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是. 4．函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) . 5．arcsin(－)＝; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝. 6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝; tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝. 7．若cosx＝－, x∈(, π)，则x＝. 8．若sinx＝－, x∈(－, 0)，则x＝. 9．若3ctgx＋1＝0, x∈(0, π)，则x＝. 三．基本技能训练题： 1．下列关系式总成立的是（B）。 （A）π－arccosx>0 （B）π－arcctgx>0 （C）arcsinx－≥0 （D）arctgx－>0 2．定义在(－∞, ∞)上的减函数是（D）。 （A）y＝arcsinx （B）y＝arccosx （C）y＝arctgx （D）y＝arcctgx 3．不等式arcsinx>－的解集是. 4．不等式arccosx>的解集是. 四．试题精选： (一) 选择题： 1．cos(arccos)的值是（D）。 （A） （B） （C）cos （D）不存在 2．已知arcsinx>1，那么x的范围是（C）。 （A）sin1<x< （B）sinx<x≤ （C）sin1<x≤1 （D） 3．已知y＝arcsinx·arctg|x| (－1≤x≤1)， 那么这个函数（A）。 （A）是奇函数 （B）是偶函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数 4．若a＝arcsin(－), b＝arcctg(－), c＝arccos(－)，则a, b, c的大小关系是（B）。 （A）a<b<c （B）a<c<b （C）c<a<b （D）c<b<a 5．已知tgx＝－, x∈(, π)，则x＝（C）。 （A）＋arctg(－)（B）π－arctg(－)（C）π＋arctg(－)（D） 6．函数f (x)＝2arccos(x－2)的反函数是（D）。 （A）y＝(cosx－2) (0≤x≤π) （B）y＝ cos(x－2) (0≤x≤2π) （C）y＝ cos(＋2) (0≤x≤π) （D）y＝ cos＋2 (0≤x≤2π) 7．若arccosx≥1，则x的取值范围是（D）。 （A）[－1, 1] （B）[－1, 0] （C）[0, 1] （D）[－1, arccos1] 8．函数y＝arccos(sinx) (－<x<)的值域是（B）。 （A）(, ) （B）[0, ] （C）(, ) （D）[,] 9．已知x∈[－1, 0]，则下列等式成立的是（B）。 （A）arcsin＝arccosx （B）arcsin＝π－arccosx （C）arccos＝arcsinx （D）arccos＝π－arcsinx 10．直线2x＋y＋3＝0的倾斜角等于（C）。 （A）arctg2 （B）arctg(－2) （C）π－arctg2 （D）π－arctg(－2) (二) 填空题： 11．若cosα＝－ (<α<π)，则α＝. (用反余弦表示) 12．函数y＝(arcsinx)2＋2arcsinx－1的最小值是 －2 . 13．函数y＝2sin2x (x∈[－, ])的反函数是. 14．函数y＝arcsin的定义域是 x≤1或x≥3 ，值域是 15．用反正切表示直线ax－y＋a＝0 (a≠0)的倾斜角为α＝ (三) 解答题： 16．求下列函数的反函数： (1) y＝3cos2x, x∈[－, 0]; (2) y＝π＋arccosx2 (0<x≤1). 解：(1) x∈[－, 0], ∴ 2x∈[－π, 0], 函数y＝3cos2x在定义域内是单值函数. 且－3≤y≤3. ∴ π＋2x∈[0, π], y＝3cos2x＝－3cos(π＋2x), cos(π＋2x)＝－, ∴ π＋2x＝arccos, ∴x＝arccos－, ∴y＝3cos2x, x∈[－, 0]的反函数是y＝arccos－, －3≤x≤3. (2) ∵0<x≤1, π≤y<, ∴ arccosx2＝y－π, x2＝cos(y－π), x＝, ∴ 原函数的反函数是y＝, π≤x<. 17．求函数y＝(arccosx)2－3arccosx的最值及相应的x的值。 解：函数y＝(arccosx)2－3arccosx, x∈[－1, 1], arccosx∈[0, π] 设arccosx＝t, 0≤t≤π, ∴ y＝t2－3t＝(t－)2－, ∴ 当t＝时,即x＝cos时, 函数取得最小值－， 当t＝π时,即x＝－1时，函数取得最大值π2－3π. 18．若f (arccosx)＝x2＋4x, 求f (x)的最值及相应的x的值。 解：设arccosx＝t, t∈[0, π], x＝cost, 代入得f (t)＝cos2t＋4cost, ∴ f (x)＝cos2x＋4cosx, x∈[0, π], cosx∈[－1, 1], f (x)＝(cosx＋2)2－4, ∴ 当cosx＝－1时,即x＝π时，函数取得最小值－3. 当cosx＝1时,即x＝0时，函数取得最大值5. 19．(1)求函数y＝arccos(x2－2x)的单调递减区间; (2)求函数arctg(x2－2x)的单调递增区间。 解：(1) 函数y＝arccosu, u∈[－1, 1]是减函数， ∴ －1≤x2－2x≤1,1－≤x≤1＋, 又x2－2x＝(x－1)2＋1, ∴ 1≤x≤1＋时, u＝x2－2x为增函数，根据复合函数的概念知此时原函数为减函数。 (2) 函数y＝arctgu增函数, u∈R, 又x2－2x＝(x－1)2＋1, ∴ 当x≥1时，原函数是增函数。 20．在曲线y＝5sin(arccos)上求一个点，使它到直线x＋y－10＝0的距离最远，并求出这个最远距离 解：设arccos＝α, －3≤x≤3, cosα＝, y＝5sinα＝5, ∴ 25x2＋9y2＝225, －3≤x≤3, 0≤y≤5, 即在上半个椭圆上求一个点，使它到直线的距离最远。从图形上可以看出，当点在椭圆左端时，即P(－3, 0)时满足条件，此时最远距离是. | |
本文发布于:2024-09-22 01:46:56，感谢您对本站的认可！
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