最小二乘法线性拟合

4.最小二乘法线性拟合（非常好）

我们知道，用作图法求出直线的斜率a和截据b，可以确定这条直线所对应的经验公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据处理方法，求出的a和b误差较大。用最小二乘法拟合直线处理数据时,任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率a和截据b是唯一的。

最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的a和b。显然，关键是如何求出最佳的a和b。

(1) 求回归直线

设直线方程的表达式为：

(2-6-1)

要根据测量数据求出最佳的a和b。对满足线性关系的一组等精度测量数据（xi，yi），假定自变量xi的误差可以忽略，则在同一xi下，测量点yi和直线上的点a+bxi的偏差di如下：

显然最好测量点都在直线上（即d1=d2=……=dn=0），求出的a和b是最理想的，但测量点不可能都在直线上，这样只有考虑d1、d2、……、dn为最小，也就是考虑d1+d2+……+dn为最小，但因d1、d2、……、dn有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|d1|+ |d2|+……+ |dn|又不好解方程，因而不可行。现在采取一种等效方法：当d12+d22+……+dn2对a和b为最小时，d1、d2、……、dn也为最小。取（d12+d22+……+dn2）为最小值，求a和b的方法叫最小二乘法。

令＝ (2-6-2)

D对a和b分别求一阶偏导数为：

再求二阶偏导数为：

；

显然：；

满足最小值条件，令一阶偏导数为零：

(2-6-3)

(2-6-4)

引入平均值：；；

；

则：

（2-6-5）

解得：（2-6-6）

（2-6-7）

将a、b值带入线性方程，即得到回归直线方程。

(2) y、a、b的标准差

在最小二乘法中，假定自变量误差可以忽略不计，是为了方便推导回归方程。操作中函数的误差大于自变量的误差即可认为满足假定。实际上两者均是变量，都有误差，从而导致结果y、a、b的标准差(n≥6)如下：

(2-6-8)

(根式的分母为n-2,是因为有两个变量)

(2-6-9)

(2-6-10)

(3)相关系数

相关系数是衡量一组测量数据xi、yi线性相关程度的参量，其定义为：

（2-6-11）

r值在0<|r|≤1中。 |r|越接近于1，x 、y 之间线性好；r为正，直线斜率为正，称为正相关；r为负，直线斜率为负，称为负相关。|r|接近于0，则测量数据点分散或xi、yi之间为非线性。不论测量数据好坏都能求出a和b，所以我们必须有一种判断测量数据好坏的方法，用来判断什么样的测量数据不宜拟合，判断的方法是|r|<r时，测量数据是非线性的．r称为相关系数的起码值，与测量次数n有关，如下表2-６-2

表2-6-2 相关系数起码值r

n	r	n	r	n	r
3	1.000	9	0.798	15	0.641
4	0.990	10	0.765	16	0.623
5	0.959	11	0.735	17	0.606
6	0.917	12	0.708	18	0.590
7	0.874	13	0.684	19	0.575
8	0.834	14	0.661	20	0.561

在进行一元线性回归之前应先求出r值，再与r比较，若|r|> r，则x和y具有线性关系，可求回归直线；否则反之。

例9：灵敏电流计的电流常数Ki和内阻Rg的测量公式为测得的数据同例7，其中间处理过程如下，试用最小二乘法求出Ki和Rg，并写出回归方程的表达式。

解：测量公式与线性方程表达式y＝a+bx比较：

数据处理如表2-6-3：

表2-6-3 Rs＝0.100Ω R1＝4350.0Ω d＝40.0mm

i	1	2	3	4	5	6	7	8	平均值

R2(Ω)	400.0	350.0	300.0	250.0	200.0	150.0	100.0	50.0	225.0
U(V)	2.82	2.49	2.15	1.82	1.51	1.18	0.84	0.56	1.67125
(104Ω2)	16.00	12.25	9.000	6.250	4.000	2.250	1.000	0.250	6.375
U2(V2)	7.95	6.20	4.62	3.31	2.28	1.39	0.71	0.31	3.34625
R2U(102ΩV)	11.3	8.72	6.45	4.55	3.02	1.77	0.84	0.28	4.615625

中间过程可多取位：

＝1.67125 ＝225.0 ＝3.34625 ＝6.375×10拟合直线4 ＝461.5625