《数字信号处理》介绍的是：如何有效地将事物的状态转变为一串数字，并用计算的方法让计算机从这些数字中提取有用的信息。 例如，公式)]1()([2 1)(-+=n x n x n y 表示对信号x (n )求平均值，得到的结果用y (n )表示；这种方法在寻信号x (n )的变化规律时，是很有用的。这里的信号一般是指代表一定意义的电压。
又如，人讲话的声音可以廉价、可靠地传输到远方。首先，将声波变为连续的电信号，再变为数字；其次，将这些数字压缩、调制，再变为连续的电信号；最后，将它送到天线上就可变为无线电信号。通信设备采样这种方法，将通信效率提高了成千上万倍。
电信号是看不见的东西，怎样才能了解处理它们的方法是否最有效？用数学。数学是最简练的语言，它可准确地表示信号，并为我们研究信号的规律提供依据。
用数学研究信号的方法是：首先，建立基本信号，例如单位脉冲信号
)( )
0( 0)0( 1)(是整数时序时当时当n n n n ⎩⎨⎧≠==δ， (1) 还有单位阶跃信号
⎩
⎨⎧<≥=)0( 0)0( 1)(时当时当n n n u ； (2) 然后，用基本信号的移位、加权、组合来表示复杂的信号，例如
∑∞
-∞=-=
i i n i x n x )()()(δ。 (3)
在此基础上，我们就可以将比较两段信号的相似程度用数学表示出来，即公式 2/122}|)(||
)(|{)(*)(∑∑∑====b a n b a n b a n n y n x n y n x r ； (4)
它称为相关系数，其数值分布在[0, 1]的范围，等于1时表示两段信号最像。依据该式给计算机编写程序，就可用计算机识别图像。
在数字信号处理中，能处理信号的公式或机器称为系统。如果输入系统的是单位脉冲信号δ(n )，则系统的输出称为单位脉冲响应，用h (n )表示。根据式(3)，当输入为x (n )时，输出
)
()()()()()()(n h n x i h i n x i n h i x n y i i *=-=-=
∑∑∞
例如，如果用h (n )=0.5δ(n )+0.5δ(n -1)表示系统，当输入为x (n )时，根据式(5)推导，可得该系统的输出y (n )=0.5x (n )+0.5x (n -1)；完成这种信号处理的计算机是这么工作的，每输入一个样本，执行一次下列操作：
上述操作称为算法。
好的算法可以节省计算机的计算时间和计算机的存储器，还可以提高信号处理的计算精度。
理论学习时，卷积的计算可用“乘法”快速解决。例如：
假设x (n )=δ(n )+2δ(n -1)+3δ(n -2)，h (n )=4δ(n )+5δ(n -1)，运用“乘
法”计算，可很快得到x (n )和h (n )的卷积结果
y (n )=4δ(n )+13δ(n -1)+22δ(n -2)+15δ(n -3)。
实践中，只要把卷积变为计算机的程序，就能让计算机
完成所需的信号处理。例如对信号进行滤波，就可以保留信
号的有用成分，消除无用成分。
把正弦波当作信号的成分是法国数学家傅里叶发明的，所以，计算信号x (n )中正弦波含量的公式
∑∞-∞=-=
n n j e n x X ωω)()( (6)
由于x (n )的时序n 无穷大，计算机算不完，而且X (ω)的数字角频率ω连续变化，不适合计算；所以，应该限制n 的长度，把研究对象x (n )分段处理，每段长度设置为N ，并离散化ω的值，使式(6)变为
)1~0( )()(102-==∑-=-N k e
n x k X N n kn N j π， (7)
它叫做离散傅里叶变换，其k 叫频序，与数字角频率有关系ω=2πk /N 。
除了显示信号的成分，频谱还有很多用途。例如一段男人的声音，以时间t 为自变量时，
其t=0~0.5s 的电压x (t )波形没什么特点；以频率f 为自变量时，其f =0~600Hz 的成分|X (f )|波形有特点，幅度大的部分较少，数值大的数占15%，数值小的数占85%；把数值小的数用短二进制码表示，数值大的数用长二进制码表示，这么传输信号可以提高总效率。
把物理状态变为数字信号，以及研究数字信号是有技巧的。例如，连续的电信号x (t )需要采样才能变
为数字信号x (n )，采样速率太高会增加成本，太低又不能保证质量。下面三个定理能为提高效率提供依据。
采样定理指出：只要采样速率大于被采样信号x (t )的最高频率的两倍，采样信号x (n )的质量就有保障。
频域采样定理指出：只要对连续频谱X (ω)在[0, 2π)的采样数量不少于数字信号x (n )的长度N ，就能保证频谱X (k )的质量。
卷积定理指出：时域的卷积对应频域的乘积，即
)()()()( )()()()(k H k X n h n x H X n h n x ⋅↔*⋅↔*或ωω， (8)
它表明，卷积可以用频谱的乘法来计算。不过，用频谱来计算卷积时，提高频谱的计算效率是问题的关键。
计算频谱也要讲求技巧，才能提高效率。快速计算频谱的原理是：缩短离散傅里叶变换的长度。
常见的快速频谱算法有两种技巧：一种从时序n 入手，把长的傅里叶变换变为短的傅里叶变换；一种从频序k 入手，把长的傅里叶变换变为短的傅里叶变换。
用快速傅里叶变换来计算频谱时，可上百倍提高效率；用快速傅里叶变换来计算卷积时（要结合卷积定理），可上十倍提高效率。提高效率意味着降低产品、工程等的成本。
研究信号的频谱还有一个技巧，就是将式(6)的e j ω用符号z 表示，即z =e j ω，这样得到的频谱
∑∞-∞=-=
n n z n x z X )()( (9)
叫z 变换。把这个方法用到单位脉冲响应h (n )，就可得到H (z )，叫做系统函数。这样一来，设计系统就是设计h (n )或者H (z )，我们在研究数字信号处理时又多了一种选择。
如果我们关心的是滤波，则系统函数代表的就是滤波器。设计滤波器也有技巧。例如，有一个自变量为模拟角频率Ω=2πf 的函数
1
j 1)(+=ΩΩH ， (10) 它具有低频时幅度大高频时幅度小的特点；如果把式(10)作为设计数字滤波器的模型，只要令其
信号处理11
11j --+-=z
z Ω， (11) 并将式(11)代入式(10)，科学家把这种变换叫做映射(map)，就可得到数字滤波器的系统函数
15.05.0)(-+=z z H 。 (12)
对式(12)进行z 反变换，就可得到相应的单位脉冲响应
)1(5.0)(5.0)(-+=n n n h δδ。 (13)
由于科学家灵活地采用映射，研究数字信号、设计数字信号处理等复杂的活动通通变成了简单而明确的数学。
——摘自杨毅明的《数字信号处理》，由机械工业出版社出版
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议