解 .作充分小,沿顺时针方向.于是
24.计算曲线积分,其中是将原点包含在内部的光滑简单正向闭曲线.
解 容易验证,除原点以外恒有.作无穷小圆,取正向.由格林公式
25. 设是由点经以点，计算。
解：，故积分在不包含原点的单连通区域内与路径无关，取上半圆周，从A到B，对应的参数方程为，则 26．设有曲线积分其中L为椭圆并取正向，
则的值为_____________ .
答案：
解 可取椭圆的参数方程计算
27.设是圆周的正向，则=
答案：
解 计算可知，但内部含有无定义点，不能直接用格林公式，在内部添一辅助曲线，取其顺时针方向，这两条曲线围城区域内积分值为0，只需算被积函数在反方向的积分值即得结果。 28.计算其中是由点经点到点的路径，柱面投影为下半圆周，段是直线。
解 这种题型注意验证积分与路径无关,或用闭路变形原理.
记，，于是在不过原点的区域内恒成立。 设为正方向
则
则
原函数、牛顿莱布尼兹公式
1.设,则原函数 .
解 利用曲线积分与路径无关原函数
2.设，则原函数 .
解 利用曲线积分与路径无关原函数
3. 验证曲线积分的被积表达式为某二元函数的全微分,并计算该曲线积分.
解 显然在全平面上具有连续偏导数,并且
,故在全平面上是某二元函数的全微分.
于是,.
4.是从点沿曲线到点
的弧段,则第二类曲线积分的值为_____________ .
答案：
解，
5.为从到的直线段，则=_______
答案：-10
解.
解法2
选直线的参数方程，，，
.
6.验证曲线积分的被积表达式为某二元函数的全微分,并计算该曲线积分.
解 是全微分.于是
.
7. 验证曲线积分的被积表达式为某二元函数的全微分,并计算该曲线积分.
解是全微分.于是
8. 验证曲线积分的被积表达式为某二元函数的全微分,并计算该曲线积分.
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