解题点拨
【问题描述】
如图，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（4,3），在x 轴上取点C 使得△ABC 是等腰三角形． 【几何法】“两圆一线”得坐标
（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有AB =AC ；
（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有BA =BC ；
（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有CA =CB ．
【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．
34C C 、同理可求，下求5C ．
显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：
而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些．【代数法】表示线段构相等 （1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3），
（2）表示线段：5AC =，5BC =
（3）分类讨论：根据55AC BC ==（4）求解得答案：解得：236m =，故5C 坐标为23,06⎛⎫ ⎪⎝⎭．
【小结】
几何法：（1）“两圆一线”作出点；
（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．DAPD001
代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ；
（2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ；
（3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ；
（4）列出方程求解．
问题总结：
（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；
（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；
（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．
直击中考
1．已知抛物线2y ax bx c =++经过()1,0A -、()3,0B 、()0,3C ，直线l 是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数解析式及顶点坐标；
(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当PAC △的周长最小时，求点P 的坐标；
(3)在直线l 上是否存在点M ，使MAC △为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)223y x x =-++，顶点坐标为()14，
(2)P 的坐标(1)2，
(3)存在．点M 的坐标为(，(1,，()1,1，()1,0【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可求得解析式，然后化为顶点式求得顶点坐标；（2）由图知：A 、B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC ，那么BC 与直线l 的交点即为符合条件的P 点；
（3）由于MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：
①MA AC =、②MA MC =、③AC MC =；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．
【详解】（1）∵()1,0A -、()3,0B 经过抛物线2y ax bx c =++，
∴可设抛物线为()()13y a x x =+-．
又(0C ，3)经过抛物线，∴代入，得()()30103a =+-，即1a =-．
∴抛物线的解析式为(1)(3)y x x =-+-，即223
y x x =-++∵()2
22314y x x x =-++=--+．∴顶点坐标为()14，
；（2）连接BC ，直线BC 与直线l 的交点为P ．则此时的点P ，使PAC 的周长最小．
设直线BC 的解析式为y kx b =+，
将()3,0B ，()0,3C 代入，得：
303k b b +=⎧⎨=⎩
，解得：13k b =-⎧⎨=⎩．∴直线BC 的函数关系式3y x =-+．
当1x -时，2y =，即P 的坐标()1,2．
（3）存在．点M 的坐标为(，(1,，()1,1，()1,0．
2mc抛物线的对称轴为：1x =，∴设(1M ，)m ．
()1,0A - 、()0,3C ，
∴22222461010MA m MC m m AC =+=-+=，，．隐形茶杯
若MA MC =，则22MA MC =，得：224610m m m +=-+，得：1m =．
②若MA AC =，则
22MA AC =，得：2410m +=，得：m =±．
③若MC AC =，则22MC AC =，得：261010m m -+=，得：0m =，6m =，
当6m =时，M 、A 、C
去污水综上可知，符合条件的M 点，点M 的坐标为(，(1,，()1,1，()1,0．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，化为顶点式，周长问题，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
2．（2021春·广东江门·九年级广东省江门市实验中学校考期中）如图，已知抛物线28y ax bx =+-的图象与水性涂料分散剂
x 轴交于()2,0A 和点B 且10AB =．（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ．
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