⎰
摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法
不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。1.利用基本公式。（这就不多说了~）2.第一类换元法。（凑微分）
C
x F x d x f dx x x f +==⋅⎰⎰)]([)()]([)(')]([ϕϕϕϕϕ其中可微。
)(x ϕ用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：例1：⎰
+-+dx
x x x
x )
1(ln )1ln(【解】)
1(1111)'ln )1(ln(+-=-+=
-+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+⎰⎰2
)ln )1(ln(2
1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：⎰
+dx
pppd-287x x x 2
)ln (ln 1【解】x
x x ln 1)'ln (+=C
x x x x x dx dx x x x +-==++⎰⎰ln 1
通用积分)ln (ln )1(ln 1223.第二类换元法：
设是单调、可导的函数，并且具有原函数，)(t x ϕ=)(')]([.0)('t t f t ϕϕϕ又设≠则有换元公式
⎰⎰=dt t t f dx f )(')]([x)(ϕϕ
第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：
acht
x t a x t a x a x asht
x t a x t a x a x t
a x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222也奏效。
，有时倒代换当被积函数含有：：t
x c bx ax x t d
cx b
ax d cx b ax t
b ax b ax m n n
n
n 1
)6()5()4(2=++⋅=++++=++ （7）当根号内出现单项式或多项式时一般用代去根号。 t C
x x x C t t t tdt t t tdt t x t dx x ++-=++-=--==⎰⎰⎰sin 2cos 2sin 2cos 2)
cos cos (2sin 2sin 但当根号内出现高次幂时可能保留根号，
c x dt t dt
t
t dt t t t
dt t t
卷纸架t t
x x x
dx +-
=--=--=--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅-⋅IL-40
=
--⎰
⎰⎰⎰⎰66
12
12
5
12
6
212
12arcsin 6
1
11
6
1
111
11
1
11
1
代去根号。
t C
x x x C t t t tdt t t tdt t x t ++-=++-=--==⎰⎰sin 2cos 2sin 2cos 2)
cos cos (2sin 2 但当根号内出现高次幂时可能保留根号，
c x dt t dt
t t dt t t t
dt t t
t t
x x x
dx +-
=--=-
-=--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅-⋅
=
--⎰
⎰⎰⎰⎰66
12
12
5
12
6
212
12arcsin 6
1木醋
11
6
1
111
11
1
11
1
公式：⎰⎰-=ν
μμννμd d 分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取时，通常基于以下两点考虑：
νμ、（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型举两个例子吧~！例3：dx
x
x x ⎰
-⋅2
31arccos 【解】观察被积函数，选取变换，则
x t arccos ==
-=-=-⎰⎰⎰
tdt t dt t t t
t dx x x x 332
3cos )sin (sin cos 1arccos C x x x x x C t t t t t t d t t t t dt t t t t t t t td t d t t +-+---=+---=-+-=---=-=-⎰⎰⎰⎰arccos 1)2(3
1
3291cos 91
cos 32sin sin 31cos )1sin 31
(sin sin 31)sin sin 31
(sin sin 31)sin sin 31(sin )1(sin 22333233332
例4：⎰xdx 2arcsin 【解】
⎰⎰--=dx
x
x
x x x xdx 2
2
211arcsin 2sin arcsin
C
x x x x x dx x
x x x x x x xd x x +--+=
-
---+=-+⎰⎰2arcsin 12arcsin 121arcsin 12arcsin 1arcsin 2arcsin 22
222上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。
有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在中，的选取有下面简单的规律：
⎰⎰-=νμμννμd d νμ、选取的函数不能改变。
，会出现循环，注意，，，νμββνμνμνμ)3(sin ,cos )3()(arcsin ,arctan ,ln )2(cos ,sin ,)()1(x
x e x P x x x ax ax e x P ax m ax m ======将以上规律化成一个图就是：
但是，当时，是无法求解的。x x arcsin ln ==νμ，对于（3）情况，有两个通用公式：
C bx b bx a b
a e dx bx e I C
bx b bx a b a e dx bx e I ax ax
ax
ax
+++=⋅=+-+=⋅=⎰⎰)sin cos (cos )cos sin (sin 2
222
21（分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx 的不定积分》中，常可以看到分部积分）
5 不定积分中三角函数的处理
1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。被积函数上下同乘变形为⎰+dx x
x 2
2cos sin 1
x sin
()()
()
⎰
⎰+--=+x x x xd dx x x cos 1cos 1cos cos cos sin 12令，则为
x u cos =
()
()()
()()()c
x x c
x x
x du u u u u u udu +-=+-+-+-=--+-+=+--
⎰⎰2
sec 412tan ln 21cos 1cos 1ln 41cos 121)141
141121(11222
22.只有三角函数时尽量寻三角函数之间的关系，注意的1cos sin 22=+x x 使用。
()()c x x x x dx
x x dx x
x x x dx x x x x +⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=
⎥⎦
转子动平衡⎤⎢⎣⎡+--=+-+=+⎰⎰⎰82tan ln 221cos sin 21)4/sin(2cos sin 21cos sin 1
cos sin 21cos sin cos sin 2
ππ 三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难，
适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。3. 函数的降次
①形如积分（m ，n 为非负整数）的cos sin ⎰xdx x n m 当m 为奇数时，可令，于是x u cos =
，
(
)
⎰⎰⎰----=-=du u u
x xd x dx x x n m n
m n m 2
1
2
1
1cos cos sin cos sin 转化为多项式的积分
当n 为奇数时，可令，于是x u sin =
，
(
)⎰⎰⎰---=
=
du u u x xd x xdx x u m
n m
n
m
2
1
2
1
1sin cos
sin
cos sin
同样转化为多项式的积分。
当m ，n 均为偶数时，可反复利用下列三角公式：
,
2
2cos 1cos ,
22cos 1sin ,2sin 21
cos sin 22x
x x
x x x x +=-==
不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。② 形如和的积分（n 为正整数）
⎰xdx n tan ⎰xdx n cot
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