高等学校研究生教材
Foundations of Measure Theory and Advanced Probability Theory
上册
袁德美王学军编著
科学出版社
2023年5月
内容简介
第1—12章是《测度论基础与高等概率论》上册，其中第1，2章是预备知识，第3—12章是测度论基础．通用积分
本书强调背景知识的深刻描述、基本概念的自然引入、科学素养的悄然渗透，从谋篇布局到板块转换，直至例题编制都精雕细琢，从章节引言到问题切入，直至定义、引理、命题、定理前的导语都字斟句酌．为避免初学者从初等概率论到高等概率论因跃迁幅度过大而产生困惑，在理论阐述方面力求小坡度
爬行、稳扎稳打、拾级而上．尽量在本书范围内自成体系，扫除读者手中缺少相关资料带来的苦恼．另外，注重各板块知识的内在联系，留意高等概率论发展史上有深刻影响人物的介绍和历史线索的呈现．本书可作为概率论与数理统计、统计学、金融数学（工程）、基础数学、计算数学、运筹学、计量经济学等专业研究生学习“测度论”和“高等概率论”等课程时的备选教材，也可作为相关领域科研工作者的参考书． 前言
初等概率论通常指本科阶段所学的概率论，之所以被冠以“初等”，是因为开设这门课程的时候读者仅学过微积分之类的近代课程，知识储备的欠缺致使概率论中许多基本概念根本无法严格定义，更不用说许多基本理论的严格证明了．例如，初入研究生阶段的你能说出事件、概率、随机变量、数学期望这些基本概念的数学定义吗？能在一般框架下推导出随机变量函数的期望公式、重期望公式、卷积公式、切比雪夫不等式这些耳熟能详的基本公式吗？
从理论的严谨性来审视，初等概率论是不够严格的；从体系的完整性来检视，初等概率论是残缺不全的；从认知的全面性来探视，初等概率论大多数时候仅停留在直觉层面．要想接近概率论领域的前沿阵地，就不得不翻越横亘在必经之路上的一座大山——高等概率论．高等概率论不仅决定了随机过程、随机分析、时间序列分析等后续概率论课程的学习深度，而且也深刻地影响着你能够在高等数理
统计、多元统计分析、统计计算等数理统计课程中崛起的高度．不管你将来从事概率论研究，还是数理统计研究，抑或是将随机金融规划为你的奋斗目标，高等概率论都是你驾长车踏破贺兰山阙的支点．高等概率论以测度论为基础，测度论是概率论的现代语言，犹如微积分之于初等概率论一样，无论怎样强调测度论之于高等概率论的基础地位都不为过．本质上讲，高等概率论是基于测度论的现代概率论，而初等概率论是未涉及测度论的古典概率论．测度论不仅是概率论的基础，而且是许多其他数学分支的工具，其重要性可以从“天道几何，万品流形先自守；变分无限，孤心测度有同伦”①中窥斑见豹．
测度论的诞生源于弥补Riemann积分局限性的探索过程．Riemann积分虽然在微积分领域发挥了无可替代的作用，但存在较大的局限性：一是积分对象必须是连续的或“基本连续”的，这导致了像Dirichlet函数那样如此简单的函数都被排除在外，而物理学和概率论又不得不考虑这种“病态”函数的积分；二是存在这样的可微函数，其导函数非Riemann可积，从而作为微积分核心内容的微积分基本定理在使用上受到了限制；三是积分与极限交换顺序的条件过于苛刻，这导致Riemann积分向深层次拓展时遭遇了天花板．
①这是北京国际数学研究中心全斋门前一副关于如何做人及治学的楹联，于2012年分别由在文学、书法领域颇有建树的数学家罗懋康撰文、刘建亚题写，其中“几何”“流形”“自守”“变分”“无限”“测度”“同伦”都是重要的数学术语．
积分革命首先从长度概念的扩充入手．Borel在19世纪末就发出疑问：区间有长度，其他点集是否也有长度呢？1902年，Lebesgue在其博士论文《积分、长度、面积》及随后出版的论著《积分与原函数分析的讲义》中，首次把长度和面积推广到一般Borel 集的Lebesgue测度．
众所周知，Riemann积分从分割积分区间为有限个子区间开始，然后将子区间的长度乘以该子区间内任意一点的函数值，进而作Riemann和，当分点加密、子区间长度一致趋于零时，Riemann和的极限就是Riemann积分．与Riemann积分不同的是，Lebesgue 积分采用的技术路线是分割值域并积分定义域上的可测集，这在简单可测函数情形显得非常自然，而一般可测函数的Lebesgue积分是在简单可测函数的基础上使用逼近思想来定义的．这种使人耳目一新的积分让一大堆在Riemann意义下“病态”的函数都在Lebesgue积分意义下“正常”了，它是积分理论发展史上的巨大突破，并成为日后研究概率论的犀利工具．
Lebesgue用累次积分计算重积分的结果在1907年被完善为一般的Fubini定理．抽象可测空间上的测度和符号测度概念最先于1915年由Fréchet提出，Radon-Nikodým于1930年给出了符号测度为一不定积分的充分必要条件—Radon-Nikodým定理，这标志着测度论的发展趋于成熟，同时为概率论的严格表述提供了关键性工具．经过近100年的发展，高等概率论俨然成为数学百花园中的满天星，密集的花蕾如覆霜盖雪，给人以独特的恬静和温馨，同时装扮着数理统计、金融数学等数学分支的灵秀空间．尽管高等概率论花团锦簇，但归根结底各大板块基本上都是测度论的各种演化，为强调测度论之于高等
概率论的基础地位，本书取名为《测度论基础与高等概率论》．“测度论”“高等概率论”“概率论极限理论”都是概率论与数理统计、统计学、金融数学（工程）、基础数学、计算数学、运筹学、计量经济学等专业的研究生必修的专业基础课或学位基础课，初学者普遍反映这几门课程难学，而且难度不小．本书是在总结长期教学经验和科研心得的基础上，边撰写、边试边完善，发挥集体智慧历经五年才得以完成的．
全书共25章，第1，2章是预备知识，第3—12章是测度论基础，第13—25章是高等概率论的基本理论，其中第19—25章又归属于概率论极限理论．本书包含以下几方面的特：
（1）强调背景知识的深刻描述、基本概念的自然引入、科学素养的悄然渗透；
（2）尽量在本书范围内自成体系，扫除读者因手中缺少相关资料带来的苦恼；
（3）为避免初学者从初等概率论到高等概率论因跃迁幅度过大而产生困惑，在理论阐述方面力求小坡度爬行、稳扎稳打、拾级而上；
电子标签分拣系统iomv（4）除“测度论”“高等概率论”“概率论极限理论”基本知识的系统阐述外，还有若干直达前沿门槛的现代专题，便于不同高校、不同专业、不同教师弹性选择教学内容，同时保持体系的完整性和先进性；
（5）许多定理、性质、命题和习题都前后照顾、相互补充、有序推进，同时穿插重要知识点或概念的
历史演进脉络的交待，尽量在有限空间中给读者呈现立体画面以激发科研兴趣．
有几件事情需要向读者解释或与任课教师沟通．
第一，除沿用本科专业课教材[1]中的术语和符号外，尽量采用国际通用术语和符号，这对立志在科学道路上深入前行的读者是大有裨益的．
第二，各章中的定义、引理、性质、命题、定理、注记和例题等都连续编号，便于交叉引用，如定义3.9后面紧接着的编号是定理3.10，注记21.6后面紧接着的编号是例21.7．
第三，为增强针对性，习题编配落实到节，编排的顺序大致对应于正文中知识点出现的顺序，在习题设置方面有四种考虑：一是为减少正文篇幅，给正文中相关推导提供现成结论；二是为后续内容埋下伏笔、奠定基础；三是为正文中涉及的假命题提供反例；四是巩固正文中主要结果和基本方法的常规练习．
第四，除个别计算题外，绝大多数习题都属于证明题，这类题目通常只陈述条件和结论，省略了“证明”二字．
清洁推车第五，扫描边栏上的“重要人物简介”和“想一想”对应的二维码即可阅读相关内容；脚注“①，②，③，…”是相应内容的解释、提示或引申，起穿针引线的作用．希望这些安排有助于理解测度论或高等
概率论发展的历史线索，加强本书各部分之间的内在联系，加大与更为高等的理论接轨的空间，它们是全书有机整体中不可分割的部分．
无人机测量第六，为了让读者进一步阅读专业文献时少一些障碍，顺便给出了专业术语对应的英文单词或词组．
第七，◎是示范性列举标志，●是说明或总结标志，□是结束标志，:A B =表示B 是A 的定义，:A B =表示把A 简记为B ．
第八，学好上述课程的先决条件是做一定数量的习题，尤其是足量做有一定难度的习题，考虑到上述课程都起点高和入门难的特点，我们一同编写了本教材的配套辅助用
管式热交换器原理图
书—《测度论基础与高等概率论学习指导》，除章节知识的简要提炼外，主要部分是本书所有习题的完整解答及个别习题解答后的评注，希望能被读者一同接受．全书由袁德美执笔，王学军对各章节的框架结构提出了许多建设性意见、仔细校对了全书并负责PPT课件的制作．
全书编写过程中，参阅了大量国内外同类优秀教材及专著，启发颇多，受益匪浅，在此向有关作者表示诚挚谢意．浙江大学数学科学学院张立新教授和中国科学技术大学管理学院胡太忠教授仔细审阅了初稿，提出了许多宝贵的修改意见，在此谨表感谢．同时还要感谢西南财经大学朱元正博士和重庆工商大学杨灵兵博士对部分章节的核对工作以及科学出版社编辑们为本书顺利出版付出的辛勤劳动．
尽管作者一直秉承尽善尽美的初衷，以宽视野高标准谋篇布局并精雕细琢于每一个细节，但限于水平和能力，书中难免会有疏漏和不妥之处，恳请同行专家和广大读者批评指正．不管是意见还是建议，烦请发送至*****************，以便作者及时改进和完善．另外，需索取本书PPT课件的读者，也请使用上述邮箱告知．
作者
2021年6月22日
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