班级：11级数学一班 姓名：杨利芳 学号：*******
【摘要】微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微积分、积分学及其应用。微分学包括求导学的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 【关键词】微积分、微分、积分
【正文】微积分是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”是微分；“无限求和”就是积分。
微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等
积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等
微积分理论的精髓：增量无限趋近于零，割线无限趋近于切线，曲线无限趋近于直线，从而以直代曲，以先行化的方法解决非线性问题。
微积分的基本方法：
微积分的基本原理告诉我们微分和积分是互逆的运算，微积分的精髓告诉我们之所以可以解决很多非线性问题，本质的原因在于化曲为直。
微积分的基本方法在于：先微分，后积分。
下面咱们就一起来研究一下求微积分的具体方法：
一：微分
（一）微分的定义：
若f(x)在处的函数改变量△y与自变量的改变量有如下关系：△y=A△x+0（△x）其中A是△x无关的常数，则称f（x）在处可微，A△x称为（x）在处的微分。记作dy=A△x或df（）=A△X
A△x为△y=A△x+0（△x）的线性主要部分。
△yA△X △ydy dy= A△X=（x）·△x
函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫微商
（二）微分的运算法则：
若函数U(x)与v(x)可微，则：
（1）d[cu(x)]=cdu(x) （2）d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)
(3)d[u(x)·v(x)]=u(x)dv(x)+v(x)du(x)
(4)d[]=
公式：
函数 | 微分 |
y=c | =0 |
y=x | =axdx |
y= | =－dx |
y= | =dx |
y=㏑x | =dx |
y=sinx | =cosxdx |
y=cosx | =－sinxdx |
y=arcsinx | =dx |
y=arccosx | =－dx |
………………. | ………………….. |
| |
例1：求函数y=xsinx的微分。
医用呼叫器 解：合肥荣事达洗衣设备制造有限公司=（2xsinx+xcosx）dx
（三）高阶微分：
函数y=（x）dx的微分，称为函数f（x）的二阶微分，记为dy。
通用积分
一般情况，函数f（x）的n-1阶微分d的微分，称为函数f（x）的n阶微分，
记为dy。二阶以及二阶以上的微分，统称为高阶微分。
如函数y=f（x）的各阶微分是:
dy=（x）dx
dy=d(dy)=d[（x）dx] =dx=(x)dx
………………
dy=f(x)dx
例2：求y=sinax+cosbx的二阶微分
解：=acosx-bsinx
=－(asinax+bcosbx)
二：积分
（一）不定积分
1.定义：设函数f（x）在I上的所有原函数F (x)+c,称为f（x）在I上的不定积分。
记作：∫f（x）dx=F (x)+c
其中f（x）称为被积函数，f（x）dx称为被积表达式，c称为积分常数。
2.积分运算：{微分运算与积分运算互逆}
3.不定积分的计算：
（一）求不定积分的思想方法：
⑴．直接积分 观察所求积分的形式是否可用积分基本公式直接求解。
例：∫（4x-2x+5x+3）dx ∫ dx
=4∫xdx-2∫xdx+5∫xdx+3∫dx =∫dx
=4·x -2·x +5·x +3x + c =x-arctanx+c
= x- x+ x+3x + c =x+arccotx+c
⑵．分部积分
分部积分的原则：
1.用分部积分公式原则
①化简为繁 ∫vdu比∫udv更简单易积分
②化不可能为可能 用积分公式
2. xsinax(xcosax) 令u= x
x㏑x 令u=㏑x
xarctanx(x熔断器盒arcsinx 汽车座套广告xarccosx)
令u= arctanx (arcsinx arccosx)
ecosax(esinax) 令u= cosax（sinax）
xe 令u= x
例：求（１）∫㏑x （２）∫xarctanxdx
解：令ｕ=㏑x dx=dv 令ｕ=arctanxdx xdx=dv
则 du=dx v= - du=dx v=x
∫㏑x=∫udv=uv-∫vdu ∫xarctanxdx=∫udv=uv -∫vdu
=-㏑x-∫（-）dx =xarctanx -∫(x)dx
=-盲文图书㏑x -+c =xarctanx -x + arctanx+c
⑶．换元积分
Ⅰ ① 第一换元积分法 (也称凑微分法)
设∫f(u)du=f(u)+c,则
∫f[φ(x)] (x)dx=∫f[φ(x)]dφ(x) ∫f(u)du
= f(u)+cf[φ(x)]+c
② 第一类换元 （凑微分法） 的思想方法
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