（一）参数连续状态离散的马氏过程的转移概率
定义：设}0,)({≥t t X 是取值于状态空间S 的随机过程，S 是有限或无限可列的，如果对于任意的正整数n ，任意的1210+<<<<≤n n t t t t ，及任意的状态S i i i i n n ∈+121,,,, ，均有： }
)()({}
)(,,)(,)()({11221111n n n n n n n n i t X i t X P i t X i t X i t X i t X P =======++++
则称此随机过程为参数连续状态离散的马氏过程（纯不连续马氏过程）。
对于纯不连续马氏过程，有：
S j i t t i t X j t X P t t t X j t X P ∈≤===≤'≤'=,,})()({}0,)()({211212
记：
})()({ˆ),(1221i t X j t X P t t p j i ===
称此条件概率为纯不连续马氏过程的转移概率。
显然有：
⎪⎩
⎪⎨⎧∈=≥∑∈S i t t p t t p S j j i j i 1),(0
),(2
121
如果),(21t t p j i 仅为时间差12t t t -=的函数，而与1t 和2t 的值无关，则称此纯不连续马氏过程为齐次的。此时
121221})()({ˆ),()(t t t i t X j t X P t t p t p j i j i -=====
⎪⎩
⎪⎨⎧≥∈=≥∈≥∑∈0,1)(0,,0)(t S i t p t S j i t p S j j
i j i
以下我们主要讨论齐次纯不连续马氏过程。 纯不连续马氏过程的C －K 方程： 一般情形： )
,,(})()({})()({})()({321122313S j i t t t i t X k t X P k t X j t X P i t X j t X P S
k ∈<<======
==∑∈
齐次情形：
)0,0,,(,)()()(>>∈=+∑∈τττt S j i p t p t p S
k j k k i j i
连续性条件：
⎩⎨
⎧≠===→j
i j
i t p j i j i t ,0,1)(lim 0
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δ 满足连续性条件的马氏过程称为随机连续的马氏过程。
注：j i ，固定时，可以证明齐次纯不连续，并且随机连续的马氏过程的转移概率)(t p j i 是关于t 的一致连续函数，并且是可微的。
（二）无穷小转移率j i q 及转移率矩阵（Q 矩阵） 取任意充分小的0>∆t ，由连续性条件及上面的注，我们有：
)()()0()(t t q t t q p t p j i j i j i j i j i ∆+∆+=∆+∆+=∆οδο
即：
t
t p q j
i j i t j i ∆-∆=→∆δ)(lim
我们称j i q 为从状态i 到状态j 的无穷小转移率或跳跃强度，显然有：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=∆-∆≠∆∆=→∆→∆j i t t p j i t
t p q i i t j i t j i ,1)(lim ,)(lim 00 即有：
)(,0),(,0j i q j i q j i j i =≤≠≥
由1)(=∆∑∈S
j j i t p 及上面的式子，有：
∑
∑∑∑∈∈∈∈∆∆=⎪⎭⎫
⎝⎛⇒∆+∆⎪⎭⎫ ⎝⎛+=S j S j j i S j S j j i t
t q t t q )()(11οο 两边求极限，即有：
0=∑∈S
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j j
i q
当状态有限的时候，我们可以定义一个矩阵如下：
)
1()1(2
1
1121110
222b20020100
+⨯+⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛=n n nn n n n n n q q q q q q q q q q q q Q
称Q 为转移率矩阵或Q 矩阵。
注：当状态为无限可列时，也可以定义形式上的Q 矩阵。
（三）Kolmogrov —Feller 前进方程
由C －K 方程，取任意充分小的0>∆t ，有：
)
()()()()()()()(,S i t p t p
t p t p t p t p t t p j
k S k j k k
i j j j i S
k j k k i j i ∈∆+
∆==
∆=∆+∑∑≠∈∈
由：
⎩⎨
⎧∆+∆+=∆≠∆+∆=∆)(1)()()(t t q t p j
k t t q t p j j j
j j k j k οο 有：
∑≠∈∆+∆+
∆+∆+==
∆+j
k S k j k k
i j j j i j i t t q t p
t t q t p t t p ,)]
()[()](1)[()(οο
即有：
t
t q t p t
t p t t p S
k j k k i j i j i ∆∆+
=∆-∆+∑∈)
()()
()(ο
令0→∆t ，我们有：
0,,)()(≥∈=∑∈t S j i q t p t
d t p d S
k j
k k i j i
由初始条件：
⎩⎨
⎧=≠=1)0(0)0(i
i j i p j
i p 即可求解上面的方程组。
当状态有限时，我们令：
())(,),(),()(10t p t p t p t in i i i =Γ
则有：
()
⎪⎩⎪
⎨⎧=Γ=Γ=Γ0,1,,0,0)0(,,2,1,0)()
( i i i n i Q t t
d t d 进一步，若记：
)
1()1(10
111100010010)()()()()()()()()()()()()(+⨯+⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
tsf过载保护⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΓΓΓ=n n nn n n n n n t p t p t p t p t p t p t p t p t p t t t t P
则有：
⎪⎩⎪
⎨⎧==+⨯+)
1()1()0()()
(n n I P Q t P t
d t P d 此即为Kolmogrov —Feller 前进方程。
（四）Kolmogrov —Feller 后退方程
根据C －K 方程，取任意充分小的0>∆t ，有：
)
()()()()()()()()(,S i t p t p
t p t p t p t p t t p t t p i
k S k j k k
i j i i i S
k j k k i j i j i ∈∆+
∆==
∆=+∆=∆+∑∑≠∈∈
由：
⎩⎨
降噪咪头
⎧∆+∆+=∆≠∆+∆=∆)
(1)()()(t t q t p i
k t t q t p i i i i k i k i οο 得：
t
t t p q t p q t
t p t t p i
k S k j k k i j i i i j i j i ∆∆+
+
系船柱
=∆-∆+∑≠∈)
()()()
()(,ο
令0→∆t ，我们有：
0,,)()(≥∈=∑∈t S j i t p q t
d t p d S
k j k k i j i
当状态有限时，记：
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=)()()()(10t p t p t p t S j n j j j 则有：
n j t S Q t
d t S d j j ,,2,1,0)
()( ==
初始条件为：
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