1.如图,P是等边△ABC内的一点,连接PA、PB、PC.以PB为边作等边△BPM,连接CM.
(1)观察并猜想AP与CM之间的大小关系,并说明你的结论; (2)若∠APC=100°,△PMC为直角三角形,求∠APB的度数 2.如图,已知在四边形ABCD大功率变频电源中,AC平分∠BAD,过C作CE⊥AB于E,并且AE=,求∠ABC+∠ADC的度数。
3.点P在∠AOB内,点M,N分别是点P关于OA,OB的对称点,M,N的连线交OA于点E,交OB于点F,若△PEF的周长为20cm,求线段MN的长。
拓展:(1)若∠AOB=45º,连接OM,ON判断△MON的形状,并说明理由。 (2)已知点P在∠AOB内,在OA,OB上分别取点E,F,使△PEF周长最小,请画出图形,并写出过程。
4.已知如图,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90º,点D是BC边的中点,且BE=AF.
求证:DE⊥DF
5.如图,△ABC中,∠ABC=90º,AB=CB,AE平分∠BAC,过点C作CD⊥AD于点D,
求证:CD=AE
6.以△ABC的两边AB,AC向外作等边三角形ABE,等边三角形ACD,连接BD,CE,交于点O.
(1)试写出图中和BD相等的一条线段,并说明理由。
(2)BD和CE的夹角大小与△ABC的形状有关吗?说明理由。
G
E
C
B
A
F
7.如图所示,△ABC中,AB=AC,在AB上取一点E,在AC延长线上取一点F,使BE=CF,EF交BC于G,求证:EG=FG8.已知△ABC中,AB=AC,且过△ABC的某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形,试求△ABC各内角的度数。
9.如图,△ABC中BD是AC边上的中线,BD⊥BC于点B,且∠ABC=120º.
10.如图所示,△ABC是等边三角形,P是三角形外一点,且∠ABP+∠ACP=180º,
求证:PB+PC=PA
A
D
E
F
B
C
11.已知P是等边△ABC内任意一点,过点P分别向三边作垂线,垂足分别是D、E、F,试证明PD+PE+PF是不变的值。12.如图所示,等边△ABC,D、E分别在AC、AB的延长线上,且CD=AE,
13.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠ABC=2∠C,求证:AB+BD=AC.
E
D
C
B
A
图2
D
C
B
E
A
图1
14.在图1至图3中,△ABC是等边三角形,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC.观察思考:
当点E为AB的中点时,如图1,线段AE与DB的大小关系是:AE DB(填“>”,“<”或“=”);
拓展延伸:
当点E不是AB的中点时,如图2,猜想线段AE与DB的大小关系是:AE DB(填“>”,“<”或“=”),并说明理由(提示:在图2中,过点E作EF∥BC角AC于点F,得到图3)。
15.如图1,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD右侧作正方形ADEF.
解答下列问题:
(1) 如果AB=AC,∠BAC=90º
①当点D在线段BC上时,(与点B不重合),如图2,线段CF、BD之间的位置关系为
,数量关系为
②当点D在线段BC的延长线上时,如图3,①中的结论是否仍然成立,请说明理由。
C
B
F
D
E
A
(2)如图4,如果AB>AC,∠BAC>90º,点D在线段BC上运动,其余条件不变,猜想当∠BCA等于多少度时,CF⊥BC,请说明理由。rake接收机
16.三角形ABC中,BD和CE是三角形的高,延长BD至点F,使BF=AC,在EC上取点P,使CP=AB,作FM垂直于BC,PN垂直于BC。求证PN+FM=BC
C
B
A
17.如图,等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90º,P为△ABC内部一点,满足PB=PC,AP=AC,则∠BCP=( )18. 如图,△ABC中,AB=AC,角BAC=90度,D为BC上一点,过D作DE垂直AD,且DE=AD,连接BE,求∠DBE 的度数。
19. 如图,△ABC中,∠BAC=90º,AB=AC,点D是BC上一点,DE⊥AD且DE=AD,
求证:CE⊥AC
20. △ABC为等边三角形,∠BDA=∠ADC=60°,试说明AD=BD+DC
D
C
A
21.在等边三角形ABC中的AC延长线上取一点E,以口红管
CE为边做等边三角形CDE,使它与三角形ABC位于直线AE的同一侧,点M为线段AD的中点,点性蚀
N为线段BE的中点,求证:三角形CNM为等边三角形。